Условие
а) Решите уравнение 2log₂²(2sin x) − 5log₂(2sin x) + 2 = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−15π/4; −3π/2].
Подсказка
Обозначьте log₂(2sin x) новой буквой и оцените, какие значения она может принимать.
Не каждый корень квадратного уравнения даёт решение: сравните его с этой оценкой.
Показать ответ
а) x=π/4+2πk; x=3π/4+2πk, k∈Z; б) −15π/4; −13π/4; −7π/4
Пошаговое решение
- Вводим замену и оцениваем её
ОДЗ: 2sin x>0, то есть sin x>0. Пусть t=log₂(2sin x). Так как 0<2sin x≤2, а логарифм с основанием 2 возрастает, t≤log₂2=1.
- Решаем квадратное уравнение
2t²−5t+2=0, D=25−16=9, t=(5±3)/4: t=2 или t=1/2. Значение t=2 больше 1 — оно означало бы 2sin x=4, sin x=2, что невозможно. Остаётся t=1/2.
- Возвращаемся к x
log₂(2sin x)=1/2, 2sin x=2^(1/2)=√2, sin x=√2/2 (условие sin x>0 выполнено). x=π/4+2πk или x=3π/4+2πk, k∈Z.
- Отбираем корни на числовой прямой
Отрезок от −15π/4 до −3π/2=−6π/4. Члены серии π/4+2πk: −15π/4, −7π/4, π/4 — в отрезок входят −15π/4 (левый конец) и −7π/4. Члены серии 3π/4+2πk: −13π/4, −5π/4, 3π/4 — входит только −13π/4, а −5π/4 правее −6π/4.
- Записываем ответ и проверяем
По возрастанию: −15π/4; −13π/4; −7π/4. Проверка: при sin x=√2/2 t=log₂√2=1/2, 2·1/4−5/2+2=0 — верно. Типичные ошибки: из t=2 получить «sin x=2» и не заметить, что это невозможно, или, наоборот, записать ветвь t=2 как sin x=1; включить −5π/4, которое больше −3π/2.
Ответ: а) x=π/4+2πk; x=3π/4+2πk, k∈Z; б) −15π/4; −13π/4; −7π/4
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: учтена ОДЗ sin x>0, после замены t=log₂(2sin x) отброшено t=2 (оно требует sin x=2), из sin x=√2/2 найдены две серии, на [−15π/4; −3π/2] отобраны −15π/4, −13π/4, −7π/4.
- 1
- Обоснованно получен верный ответ в пункте а), но в пункте б) отбор неверен (например, потерян конец −15π/4); ИЛИ из-за одной вычислительной ошибки ответы неверны при верной последовательности всех шагов решения обоих пунктов.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.