ЕГЭ, задание 13: Тригонометрическое уравнение

Вынесите за скобки √(3+1) и узнайте в скобке формулу косинуса разности.

Когда косинусы двух углов равны? Рассмотрите оба случая.

1. Вводим вспомогательный угол

   Коэффициенты √3 и 1: √((√3)²+1²)=2. √3 sin x+cos x=2((√3/2)sin x+(1/2)cos x)=2(sin x·sin(π/3)+cos x·cos(π/3))=2cos(x−π/3). Уравнение: cos 3x=cos(x−π/3).

2. Используем условие равенства косинусов

   cos a=cos b ⇔ a=b+2πk или a=−b+2πk. Первый случай: 3x=x−π/3+2πk, 2x=−π/3+2πk, x=−π/6+πk. Второй случай: 3x=−x+π/3+2πk, 4x=π/3+2πk, x=π/12+πk/2, k∈Z.

3. Проверяем, не повторяются ли серии

   Если −π/6+πm=π/12+πk/2, то k/2−m=−1/4: слева число, кратное 1/2, а −1/4 не кратно 1/2. Равенство невозможно, обе серии нужны в ответе.

4. Отбираем корни на [0; π]

   Серия π/12+πk/2 (шаг π/2): π/12, π/12+π/2=7π/12, далее 13π/12>π. Серия −π/6+πk: −π/6<0 не подходит, −π/6+π=5π/6 подходит, 11π/6>π. Концы 0 и π не корни: при x=0 слева 1, справа 2.

5. Проверяем корень и разбираем типичную ошибку

   x=5π/6: √3·(1/2)+(−√3/2)=0 и 2cos(5π/2)=0 — верно. Порядок: π/12<7π/12=0,58π<5π/6=0,83π. Типичная ошибка — рассмотреть только случай 3x=x−π/3+2πk и потерять корни π/12 и 7π/12, либо ошибиться в знаке вспомогательного угла и получить cos(x+π/3).

Ответ: а) x=π/12+πk/2; x=−π/6+πk, k∈Z; б) π/12; 7π/12; 5π/6

2

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: левая часть записана как 2cos(x−π/3), рассмотрены оба случая равенства косинусов, получены серии x=π/12+πk/2 и x=−π/6+πk, отобраны π/12; 7π/12; 5π/6.

1

Обоснованно получен верный ответ в пункте а), но отбор в пункте б) выполнен неверно или не обоснован, ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки при верной последовательности всех шагов решения обоих пунктов. Например, обе серии получены верно, но при отборе на [0; π] пропущен корень 7π/12 или включён 13π/12.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.