Условие
а) Решите уравнение sin²x+sin²2x+sin²3x=3/2. б) Найдите все корни этого уравнения, лежащие на отрезке [π/2; π].
Подсказка
Каждый квадрат синуса замените через косинус двойного угла.
В сумме трёх косинусов сгруппируйте крайние слагаемые.
Показать ответ
а) x=π/8+πk/4; x=±π/3+πk, k∈Z; б) 5π/8; 2π/3; 7π/8
Пошаговое решение
- Понижаем степень
По формуле sin²a=(1−cos 2a)/2 заменяем каждое слагаемое: (1−cos 2x)/2+(1−cos 4x)/2+(1−cos 6x)/2=3/2. Умножаем на 2: 3−(cos 2x+cos 4x+cos 6x)=3, то есть cos 2x+cos 4x+cos 6x=0.
- Группируем крайние слагаемые и применяем формулу суммы
cos 2x+cos 6x=2cos((2x+6x)/2)·cos((6x−2x)/2)=2cos 4x·cos 2x. Уравнение: 2cos 4x·cos 2x+cos 4x=0, то есть cos 4x·(2cos 2x+1)=0. Группировать именно крайние слагаемые нужно, чтобы появился общий множитель cos 4x.
- Решаем каждое уравнение
cos 4x=0 ⇔ 4x=π/2+πk ⇔ x=π/8+πk/4, k∈Z. 2cos 2x+1=0 ⇔ cos 2x=−1/2 ⇔ 2x=±2π/3+2πk ⇔ x=±π/3+πk, k∈Z. Серии не пересекаются: π/8+πk/4 — нечётные кратные π/8, а ±π/3+πk к ним не относятся.
- Отбираем корни на единичной окружности
Отрезок [π/2; π] — это дуга II четверти от верхней точки до левой. Первая серия даёт 8 точек π/8, 3π/8, 5π/8, …, 15π/8; на дуге лежат 5π/8 и 7π/8. Вторая серия даёт точки π/3, 2π/3, 4π/3, 5π/3; на дуге только 2π/3. Концы π/2 и π корнями не являются: при x=π/2 сумма равна 1+0+1=2≠3/2, при x=π — 0+0+0=0≠3/2.
- Проверяем корень и разбираем типичную ошибку
x=2π/3: sin²(2π/3)=3/4, sin²(4π/3)=3/4, sin²(2π)=0, сумма 3/2 — верно. Порядок: 5π/8=15π/24, 2π/3=16π/24, 7π/8=21π/24. Типичная ошибка — разделить уравнение на cos 4x и потерять серию π/8+πk/4 (корни 5π/8 и 7π/8) или записать её с периодом π/2, оставив на отрезке только 5π/8.
Ответ: а) x=π/8+πk/4; x=±π/3+πk, k∈Z; б) 5π/8; 2π/3; 7π/8
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: выполнено понижение степени, сумма cos 2x+cos 6x преобразована в произведение, получены обе серии x=π/8+πk/4 и x=±π/3+πk, отбор на [π/2; π] обоснован: 5π/8; 2π/3; 7π/8.
- 1
- Обоснованно получен верный ответ в пункте а), но отбор в пункте б) выполнен неверно или не обоснован, ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки при верной последовательности всех шагов решения обоих пунктов. Например, обе серии найдены верно, но на дуге [π/2; π] пропущен корень 7π/8 или ошибочно взят конец π/2.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.