ЕГЭ, задание 13: Тригонометрическое уравнение

Сумма логарифмов с одним основанием — логарифм произведения, но только там, где оба слагаемых существуют.

Произведение sin x·cos x выражается через синус двойного угла.

1. Выписываем ОДЗ

   Оба логарифма определены при sin x>0 и cos x>0 — это первая четверть единичной окружности (без её концов).

2. Объединяем логарифмы

   На ОДЗ log₂(sin x)+log₂(cos x)=log₂(sin x·cos x), поэтому sin x·cos x=2^(−2)=1/4. Так как sin x·cos x=(1/2)sin 2x, получаем sin 2x=1/2.

3. Решаем и применяем ОДЗ

   2x=π/6+2πn или 2x=5π/6+2πn, откуда x=π/12+πn или x=5π/12+πn. При нечётном n точки попадают в третью четверть: там sin x<0 и cos x<0 (произведение положительно, но логарифмы не существуют). Оставляем чётные n=2k: x=π/12+2πk; x=5π/12+2πk, k∈Z.

4. Отбираем корни по единичной окружности

   Отрезку [−2π; π/3] соответствует полный оборот от правой точки (−2π) до правой точки (0) и ещё дуга от 0 до π/3 (60°). На полном обороте лежат обе точки первой четверти: −2π+π/12=−23π/12 и −2π+5π/12=−19π/12. На дуге [0; π/3] лежит π/12 (15°<60°), а 5π/12 (75°) уже за её концом.

5. Записываем ответ и проверяем

   По возрастанию: −23π/12; −19π/12; π/12. Проверка x=π/12: sin x·cos x=(1/2)sin(π/6)=1/4, log₂(1/4)=−2. Типичные ошибки: записать x=π/12+πn и взять корни из третьей четверти (например, 13π/12), где логарифмы не определены; объединить логарифмы до выписывания ОДЗ.

Ответ: а) x=π/12+2πk; x=5π/12+2πk, k∈Z; б) −23π/12; −19π/12; π/12

2

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: выписана ОДЗ sin x>0, cos x>0, получено sin 2x=1/2, из серий π/12+πn и 5π/12+πn оставлены только точки первой четверти, на [−2π; π/3] отобраны −23π/12, −19π/12, π/12.

1

Обоснованно получен верный ответ в пункте а), но в пункте б) отбор неверен; ИЛИ из-за одной вычислительной ошибки ответы неверны при верной последовательности всех шагов (ОДЗ, объединение логарифмов, двойной угол, отбор по четвертям и по отрезку).

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.