ЕГЭ, задание 13: Тригонометрическое уравнение

Прежде чем возводить в квадрат, выясните, какого знака должна быть правая часть.

После возведения в квадрат замените cos²x через sin²x.

1. Ставим условие на правую часть

   Арифметический корень неотрицателен, поэтому нужно −2cos x≥0, то есть cos x≤0. Подкоренное выражение 2+2sin x≥0 при любом x, отдельного условия оно не даёт. При cos x≤0 возведение в квадрат равносильно.

2. Возводим в квадрат

   2+2sin x=4cos²x=4−4sin²x, откуда 4sin²x+2sin x−2=0, 2sin²x+sin x−1=0, (2sin x−1)(sin x+1)=0: sin x=1/2 или sin x=−1.

3. Отбираем по условию cos x≤0

   sin x=−1: x=−π/2+2πk, там cos x=0 — условие выполнено (обе части равны 0). sin x=1/2: x=π/6+2πk (cos x=√3/2>0 — посторонний корень) или x=5π/6+2πk (cos x=−√3/2 — подходит). Ответ пункта а): x=−π/2+2πk; x=5π/6+2πk, k∈Z.

4. Отбираем корни на числовой прямой

   Отрезок от 3π/2=9π/6 до 4π=24π/6. Члены серии −π/2+2πk: −π/2, 3π/2, 7π/2, 11π/2 — в отрезок входят 3π/2 (левый конец) и 7π/2=21π/6. Члены серии 5π/6+2πk: 5π/6, 17π/6, 29π/6 — входит только 17π/6.

5. Проверяем и отмечаем ошибки

   x=17π/6: sin x=1/2, √(2+1)=√3; cos x=−√3/2, −2cos x=√3 — верно. Типичные ошибки: забыть условие cos x≤0 и оставить посторонний корень π/6+2πk (при нём слева √3, справа −√3); отбросить x=−π/2+2πk, решив, что cos x=0 «нельзя».

Ответ: а) x=−π/2+2πk; x=5π/6+2πk, k∈Z; б) 3π/2; 17π/6; 7π/2

2

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: поставлено условие cos x≤0, после возведения в квадрат получено (2sin x−1)(sin x+1)=0, посторонняя серия π/6+2πk исключена, на [3π/2; 4π] отобраны 3π/2, 17π/6, 7π/2.

1

Обоснованно получен верный ответ в пункте а), но в пункте б) отбор неверен (например, потерян конец 3π/2); ИЛИ из-за одной вычислительной ошибки ответы неверны при верной последовательности всех шагов, включая проверку знака правой части.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.