Условие
а) Решите уравнение cos 2(x+π/5)+cos (x+π/5)=0. б) Укажите все корни на отрезке [−17π/10; 13π/10].
Подсказка
Введите y=x+π/5. Раскройте cos 2y через cos y, решите квадратное уравнение и только затем вернитесь к тригонометрическим сериям.
После возврата к x отбирайте целые k из двойного неравенства −17π/10≤x≤13π/10.
Показать ответ
а) x=2π/15+2πk; x=−8π/15+2πk; x=4π/5+2πk, k∈Z; б) −6π/5; −8π/15; 2π/15; 4π/5
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Введите y=x+π/5. Раскройте cos 2y через cos y, решите квадратное уравнение и только затем вернитесь к тригонометрическим сериям. После возврата к x отбирайте целые k из двойного неравенства −17π/10≤x≤13π/10.
- Вводим обозначения
Положим y=x+π/5. Получаем уравнение cos 2y+cos y=0.
- Подставляем данные
Подставляем cos 2y=2cos²y−1 и полагаем t=cos y. Получаем 2t²+t−1=0=(2t−1)(t+1), поэтому cos y=1/2 или cos y=−1. Первая ветвь даёт y=±π/3+2πk, вторая — y=π+2πk.
- Записываем общее решение
Для переменной y: y=π/3+2πk; y=−π/3+2πk; y=π+2πk, k∈Z. Так как y=x+π/5, к каждой базовой точке прибавляем −π/5. Общее решение относительно x: x=2π/15+2πk; x=−8π/15+2πk; x=4π/5+2πk, k∈Z.
- Записываем условие отбора корней
Для каждой серии решаем двойное неравенство −17π/10≤x≤13π/10 по целому k. Границы включены, так как дан отрезок.
- Отбираем корни серии 1
Серия 1: x=2π/15+(2π)k. Подставляем в границы: −17π/10≤2π/15+(2π)k≤13π/10. Вычитаем 2π/15 и делим на положительный период 2π: -11/12≤k≤7/12. Целые k: 0. при k=0: x=2π/15+(2π)·(0)=2π/15.
- Отбираем корни серии 2
Серия 2: x=−8π/15+(2π)k. Подставляем в границы: −17π/10≤−8π/15+(2π)k≤13π/10. Вычитаем −8π/15 и делим на положительный период 2π: -7/12≤k≤11/12. Целые k: 0. при k=0: x=−8π/15+(2π)·(0)=−8π/15.
- Отбираем корни серии 3
Серия 3: x=4π/5+(2π)k. Подставляем в границы: −17π/10≤4π/5+(2π)k≤13π/10. Вычитаем 4π/5 и делим на положительный период 2π: -5/4≤k≤1/4. Целые k: -1, 0. при k=-1: x=4π/5+(2π)·(-1)=−6π/5; при k=0: x=4π/5+(2π)·(0)=4π/5.
- Объединяем и упорядочиваем корни
Объединяем найденные значения, удаляем повторы и располагаем по возрастанию: −6π/5; −8π/15; 2π/15; 4π/5.
Ответ: а) x=2π/15+2πk; x=−8π/15+2πk; x=4π/5+2πk, k∈Z; б) −6π/5; −8π/15; 2π/15; 4π/5