Условие
а) Решите уравнение 9^(sin x) + 9^(−sin x) = 10/3. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−5π/2; −π].
Подсказка
Обозначьте 9^(sin x) новой буквой: чему тогда равно 9^(−sin x)?
После замены получится квадратное уравнение; каждому его корню соответствует своё значение синуса.
Показать ответ
а) x=±π/6+πk, k∈Z; б) −13π/6; −11π/6; −7π/6
Пошаговое решение
- Вводим замену
Пусть t=9^(sin x). Показательная функция положительна, поэтому t>0, а 9^(−sin x)=1/t. Уравнение принимает вид t+1/t=10/3. Умножаем на 3t≠0: 3t²−10t+3=0. D=10²−4·3·3=100−36=64, t=(10±8)/6, то есть t=3 или t=1/3. Оба значения положительны, оба подходят.
- Возвращаемся к синусу
9^(sin x)=3=9^(1/2), откуда sin x=1/2 (показательная функция с основанием 9 монотонна, поэтому показатели равны). 9^(sin x)=1/3=9^(−1/2), откуда sin x=−1/2. Оба значения лежат в [−1; 1].
- Записываем серии
sin x=1/2: x=π/6+2πk или x=5π/6+2πk; sin x=−1/2: x=−π/6+2πk или x=−5π/6+2πk. На единичной окружности это четыре точки π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6, попарно диаметрально противоположные (π/6 и 7π/6, 5π/6 и 11π/6). Поэтому все корни записываются короче: x=±π/6+πk, k∈Z. Ответ пункта а) равносилен четырём сериям с периодом 2π.
- Отбираем корни по единичной окружности
Отрезку [−5π/2; −π] соответствует дуга длиной 3π/2: от нижней точки окружности (−5π/2 — то же место, что −π/2) против часовой стрелки через правую точку (−2π) и верхнюю (−3π/2) до левой точки (−π). На этой дуге лежат три отмеченные точки: в четвёртой четверти — −2π−π/6=−13π/6, в первой — −2π+π/6=−11π/6, во второй — −2π+5π/6=−7π/6. Точка третьей четверти (7π/6 на круге) в дугу не входит.
- Проверяем и называем типичные ошибки
При sin x=1/2: 9^(1/2)+9^(−1/2)=3+1/3=10/3 — верно; при sin x=−1/2 слагаемые меняются местами. Типичные ошибки: записать только sin x=1/2 и потерять ветвь t=1/3; взять −17π/6 — это число меньше −5π/2=−15π/6 и в отрезок не входит; приписать отрезку точку −5π/6, которая правее −π.
Ответ: а) x=±π/6+πk, k∈Z; б) −13π/6; −11π/6; −7π/6
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: замена t=9^(sin x)>0 приводит к 3t²−10t+3=0, найдены sin x=±1/2, записаны все корни x=±π/6+πk и на отрезке [−5π/2; −π] отобраны ровно −13π/6, −11π/6, −7π/6.
- 1
- Обоснованно получен верный ответ в пункте а), но в пункте б) корни отобраны неверно или без обоснования; ИЛИ из-за одной вычислительной ошибки (например, в дискриминанте 3t²−10t+3=0) ответы неверны, но есть верная последовательность всех шагов: замена, возврат к синусу, серии, отбор.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.