Условие
а) Решите уравнение 2^(x+1) + 3·2^(2−x) = 10. б) Определите, какие корни уравнения содержатся в отрезке [log₃ 2; log₅ 9].
Подсказка
2^(2−x) — это 4, делённое на 2^x; после замены получится уравнение с дробью.
Чтобы сравнить логарифмы с разными основаниями, найдите число, лежащее между ними.
Показать ответ
а) 1; log₂ 3; б) 1
Пошаговое решение
- Выражаем степени через 2^x
2^(x+1)=2·2^x, 2^(2−x)=2²/2^x=4/2^x, поэтому 3·2^(2−x)=12/2^x. Уравнение: 2·2^x+12/2^x=10.
- Вводим замену и избавляемся от дроби
Пусть t=2^x>0. 2t+12/t=10. Умножаем на t≠0 (равносильно, так как t>0): 2t²−10t+12=0, t²−5t+6=0, t=2 или t=3.
- Возвращаемся к x (пункт а)
2^x=2 даёт x=1; 2^x=3 даёт x=log₂ 3. Так как 3>2, log₂ 3>1. Корни: 1 и log₂ 3.
- Отбираем корни на отрезке (пункт б)
Корень 1: 1=log₃ 3>log₃ 2 и 1=log₅ 5<log₅ 9 — принадлежит отрезку. Корень log₂ 3 сравним с log₅ 9 через число 3/2. 3/2=log₂ 2^(3/2)=log₂ √8, а 3>√8, так как 9>8; значит, log₂ 3>3/2. 3/2=log₅ √125, а 9<√125, так как 81<125; значит, log₅ 9<3/2. Итак, log₂ 3>log₅ 9 — корень правее отрезка.
- Проверяем и отмечаем типичные ошибки
x=1: 4+3·2=10. x=log₂ 3: 2·3+12/3=6+4=10. Типичные ошибки: записать 2^(2−x) как 4−2^x или 4·2^x; сравнивать log₂ 3≈1,58 и log₅ 9≈1,37 только по калькуляторным приближениям без обоснования.
Ответ: а) 1; log₂ 3; б) 1
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: после замены t=2^x>0 найдены t=2 и t=3, корни 1 и log₂ 3; в пункте б сравнение log₂ 3>3/2>log₅ 9 обосновано (9>8 и 81<125).
- 1
- Обоснованно получен верный ответ в пункте а, но сравнение log₂ 3 с log₅ 9 не обосновано или выполнено неверно; ИЛИ одна вычислительная ошибка (в 2^(2−x) или в квадратном уравнении) при верной последовательности замены, возврата к x и отбора.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.