Условие
а) Решите уравнение (log₂(2x))² − 3·log₂ x − 7 = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [√3/8; 4√5].
Подсказка
Логарифм произведения 2x равен сумме логарифмов; после этого удобна замена t=log₂ x.
Положительные числа с корнями сравнивайте, возведя их в квадрат.
Показать ответ
а) 1/4; 8; б) 1/4; 8
Пошаговое решение
- Находим ОДЗ и раскрываем логарифм произведения
Оба логарифма определены при x>0. При x>0 log₂(2x)=log₂ 2+log₂ x=1+log₂ x.
- Вводим замену
Пусть t=log₂ x. Тогда (1+t)²−3t−7=0, то есть t²+2t+1−3t−7=0, t²−t−6=0. По теореме Виета t=3 или t=−2.
- Возвращаемся к x (пункт а)
log₂ x=3 даёт x=2³=8; log₂ x=−2 даёт x=2^(−2)=1/4. Оба числа положительны, ОДЗ выполнено. Корни: 1/4 и 8.
- Отбираем корни на отрезке (пункт б)
Все числа положительны, поэтому их можно сравнивать по квадратам. (1/4)²=1/16=4/64, (√3/8)²=3/64; 4/64>3/64, значит, 1/4>√3/8. 8²=64, (4√5)²=16·5=80; 64<80, значит, 8<4√5. Кроме того, 1/4<8. Оба корня лежат на отрезке.
- Проверяем и отмечаем типичные ошибки
x=1/4: log₂(1/2)=−1, log₂(1/4)=−2, (−1)²−3·(−2)−7=1+6−7=0. x=8: log₂ 16=4, 16−9−7=0. Типичные ошибки: считать log₂(2x)=2·log₂ x; раскрыть (1+t)² как 1+t²; сравнивать 1/4 и √3/8 приближённо и ошибиться.
Ответ: а) 1/4; 8; б) 1/4; 8
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: учтено x>0, использовано log₂(2x)=1+log₂ x, из t²−t−6=0 найдены x=8 и x=1/4; в пункте б сравнение с √3/8 и 4√5 обосновано (3/64<4/64, 64<80).
- 1
- Обоснованно получен верный ответ в пункте а, но отбор на отрезке [√3/8; 4√5] не обоснован или выполнен неверно; ИЛИ одна вычислительная ошибка (при раскрытии (1+t)² или в корнях квадратного уравнения) при верной последовательности замены, возврата к x и отбора.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.