Условие
а) Решите уравнение log_x(x³ − 6x² + 14x − 8) = 2. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [log₃ 5; log₂ 12].
Подсказка
Выпишите все условия на основание логарифма — одно из них пригодится в конце.
У получившегося многочлена третьей степени сумма коэффициентов равна нулю.
Показать ответ
а) 2; 4; б) 2
Пошаговое решение
- Записываем ОДЗ
Основание логарифма: x>0 и x≠1. Аргумент: x³−6x²+14x−8>0.
- Переходим к алгебраическому уравнению
По определению логарифма x³−6x²+14x−8=x². При этом аргумент равен x²>0, так что его положительность выполнится автоматически, но условия на основание надо проверить отдельно. Получаем x³−7x²+14x−8=0.
- Раскладываем многочлен третьей степени
Сумма коэффициентов 1−7+14−8=0, значит, x=1 — корень многочлена. Деление на x−1 даёт x³−7x²+14x−8=(x−1)(x²−6x+8)=(x−1)(x−2)(x−4). Кандидаты: 1, 2, 4.
- Отбираем по ОДЗ (пункт а)
x=1 не подходит: основание логарифма не может быть равно 1. x=2: аргумент 8−24+28−8=4=2², log₂ 4=2 — верно. x=4: 64−96+56−8=16=4², log₄ 16=2 — верно. Корни: 2 и 4.
- Отбираем корни на отрезке (пункт б)
2=log₃ 9>log₃ 5, так как 9>5; 2=log₂ 4<log₂ 12, так как 4<12. Значит, 2 принадлежит отрезку. 4=log₂ 16>log₂ 12 — корень правее отрезка. Типичные ошибки: оставить x=1 (log₁ 1 не определён); не проверить, что основание положительно; сравнивать 4 и log₂ 12 без перехода к 16>12.
Ответ: а) 2; 4; б) 2
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: записано ОДЗ (x>0, x≠1), многочлен разложен на (x−1)(x−2)(x−4), корень x=1 исключён из-за основания; в пункте б доказано log₃ 5<2<log₂ 12<4.
- 1
- Обоснованно получен верный ответ в пункте а, но отбор на отрезке не обоснован или выполнен неверно; ИЛИ одна вычислительная ошибка при делении многочлена при верной последовательности шагов: ОДЗ, переход по определению логарифма, исключение x=1, отбор.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.