Условие
а) Решите уравнение log₄(2^(2x) − 3cos x − 2sin²x) = x. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [2π; 7π/2].
Подсказка
Запишите уравнение без логарифма по его определению. Что можно сказать о знаке 4^x?
Сравните 2^(2x) и 4^x — после этого в уравнении останутся только cos x и sin²x.
Показать ответ
а) x=±2π/3+2πk, k∈Z; б) 8π/3; 10π/3
Пошаговое решение
- Переходим от логарифма к степени
По определению логарифма log₄ A=x означает A=4^x, причём A>0. Но 4^x>0 при любом x, поэтому условие A>0 для корней уравнения A=4^x выполняется автоматически: уравнение равносильно 2^(2x)−3cos x−2sin²x=4^x без отдельной ОДЗ.
- Сокращаем показательную часть
2^(2x)=(2²)^x=4^x, поэтому 4^x−3cos x−2sin²x=4^x, то есть 3cos x+2sin²x=0. Переменная x ушла из показателя — осталось тригонометрическое уравнение.
- Сводим к квадратному уравнению относительно cos x
sin²x=1−cos²x: 3cos x+2−2cos²x=0, 2cos²x−3cos x−2=0. Пусть t=cos x, −1≤t≤1: D=9+16=25, t=(3±5)/4, t=2 или t=−1/2. Значение t=2>1 невозможно: |cos x|≤1. Остаётся cos x=−1/2, x=±2π/3+2πk, k∈Z.
- Отбираем корни по графику y=cos x
На отрезке [2π; 7π/2] функция y=cos x на [2π; 3π] убывает от 1 до −1, а на [3π; 7π/2] возрастает от −1 до 0. Значение −1/2 на каждом участке монотонности принимается ровно один раз: x=2π+2π/3=8π/3 на первом и x=3π+π/3=10π/3 на втором (10π/3=20π/6<21π/6=7π/2). Концы 2π и 7π/2 не подходят: cos 2π=1, cos(7π/2)=0.
- Проверяем и отмечаем ошибки
x=8π/3: cos x=−1/2, sin²x=3/4, 3·(−1/2)+2·3/4=0, аргумент логарифма равен 4^x>0, log₄(4^x)=x — верно. Типичные ошибки: не заметить, что 2^(2x)=4^x, и пытаться решать показательное уравнение; оставить cos x=2; записать на отрезке только 8π/3, не рассмотрев участок возрастания косинуса.
Ответ: а) x=±2π/3+2πk, k∈Z; б) 8π/3; 10π/3
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: по определению логарифма уравнение заменено на 2^(2x)−3cos x−2sin²x=4^x (положительность аргумента следует из 4^x>0), получено 2cos²x−3cos x−2=0, отброшено cos x=2, записаны серии x=±2π/3+2πk и на [2π; 7π/2] отобраны 8π/3 и 10π/3.
- 1
- Обоснованно получен верный ответ в пункте а), но в пункте б) отбор неверен или не обоснован (например, потерян корень 10π/3 на участке возрастания косинуса); ИЛИ из-за одной вычислительной ошибки (например, в дискриминанте) ответы неверны при верной последовательности всех шагов решения обоих пунктов.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.