ЕГЭ, задание 13: Тригонометрическое уравнение

Выразите cos²x через sin²x и посмотрите, как связаны два слагаемых.

Значения 2 и 8 — это степени числа 16 с дробными показателями.

1. Связываем два слагаемых

   Так как cos²x=1−sin²x, второе слагаемое равно 16^(1−sin²x)=16/16^(sin²x). Обозначим t=16^(sin²x). Поскольку 0≤sin²x≤1, имеем 1≤t≤16.

2. Решаем уравнение относительно t

   t+16/t=10, умножаем на t>0: t²−10t+16=0, по теореме Виета t=2 или t=8. Оба значения лежат в промежутке [1; 16].

3. Возвращаемся к x

   16^(sin²x)=2=16^(1/4), значит sin²x=1/4, sin x=±1/2, x=±π/6+πk. 16^(sin²x)=8=16^(3/4) (так как 16^(3/4)=2³), значит sin²x=3/4, sin x=±√3/2, x=±π/3+πk, k∈Z.

4. Отбираем корни двойным неравенством

   Для каждой из четырёх серий решаем неравенство относительно целого k. 2π ≤ π/6+πk ≤ 7π/2; делим на π, вычитаем 1/6: 11/6 ≤ k ≤ 10/3, k=2: x=13π/6, k=3: x=19π/6; 2π ≤ −π/6+πk ≤ 7π/2; делим на π, прибавляем 1/6: 13/6 ≤ k ≤ 11/3, k=3: x=17π/6; 2π ≤ π/3+πk ≤ 7π/2; делим на π, вычитаем 1/3: 5/3 ≤ k ≤ 19/6, k=2: x=7π/3, k=3: x=10π/3; 2π ≤ −π/3+πk ≤ 7π/2; делим на π, прибавляем 1/3: 7/3 ≤ k ≤ 23/6, k=3: x=8π/3.

5. Собираем ответ и проверяем

   По возрастанию: 13π/6; 7π/3; 8π/3; 17π/6; 19π/6; 10π/3. Проверка для x=13π/6: sin²x=1/4, cos²x=3/4, 16^(1/4)+16^(3/4)=2+8=10 — верно. Типичные ошибки: из sin²x=1/4 взять только sin x=1/2 и потерять половину точек; ошибиться в 16^(3/4)=8 и решить sin²x=3/8.

Ответ: а) x=±π/6+πk; x=±π/3+πk, k∈Z; б) 13π/6; 7π/3; 8π/3; 17π/6; 19π/6; 10π/3

2

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: через cos²x=1−sin²x получено t+16/t=10, найдены sin²x=1/4 и sin²x=3/4, записаны серии x=±π/6+πk и x=±π/3+πk и на отрезке [2π; 7π/2] отобраны все шесть корней.

1

Обоснованно получен верный ответ в пункте а), а в пункте б) отбор неверен (потерян или лишний корень); ИЛИ из-за одной вычислительной ошибки (например, 16^(3/4) найдено неверно) ответ неверен при верной последовательности всех шагов решения обоих пунктов.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.