ЕГЭ, задание 13: Тригонометрическое уравнение

Сначала найдите, при каких x определён логарифм, — каждый найденный корень сверьте с этим условием.

Чтобы сравнить 2^a и 3 при дробном a, возведите обе части в подходящую натуральную степень.

1. Находим ОДЗ

   Логарифм определён при 5x−8>0, то есть x>8/5. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю, а другой при этом имеет смысл, — поэтому все кандидаты проверяем условием x>8/5.

2. Приравниваем к нулю каждый множитель

   Первый: t=2^x>0, t²−7t+12=0, t=3 или t=4, откуда x=log₂ 3 или x=2. Второй: log₃(5x−8)=0, 5x−8=3⁰=1, x=9/5.

3. Проверяем кандидатов по ОДЗ (пункт а)

   2>8/5 и 9/5>8/5 — подходят. Для log₂ 3 сравним 3 и 2^(8/5): возведём обе части в пятую степень, 3⁵=243<256=2⁸. Значит, 3<2^(8/5) и log₂ 3<8/5: этот кандидат вне ОДЗ, логарифм там не определён. Корни: 9/5 и 2.

4. Отбираем корни на отрезке (пункт б)

   2=log₃ 9>log₃ 8 — корень правее отрезка. Для 9/5 сравним 3^(9/5) с 5 и 8, возводя в пятую степень: 3⁹=19683, 5⁵=3125, 8⁵=32768. Так как 3125<19683<32768, то 5<3^(9/5)<8, то есть log₃ 5<9/5<log₃ 8 — корень 9/5 принадлежит отрезку.

5. Проверяем и отмечаем типичные ошибки

   x=9/5: log₃(9−8)=log₃ 1=0. x=2: 16−28+12=0, log₃ 2 существует. Типичные ошибки: оставить x=log₂ 3 (≈1,585 очень близко к 1,6 — без вычисления 3⁵ и 2⁸ легко ошибиться); забыть второй множитель и потерять 9/5.

Ответ: а) 9/5; 2; б) 9/5

2

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: учтено ОДЗ x>8/5, найдены кандидаты log₂ 3, 2, 9/5, исключение log₂ 3 доказано (3⁵<2⁸); в пункте б доказано log₃ 5<9/5<log₃ 8<2.

1

Обоснованно получен верный ответ в пункте а, но отбор в пункте б не обоснован или выполнен неверно; ИЛИ одна вычислительная ошибка при верной последовательности шагов: ОДЗ, оба множителя, проверка кандидатов по ОДЗ и отбор на отрезке.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.