ЕГЭ, задание 13: Тригонометрическое уравнение

Выразите log₃ x через log₂ x по формуле перехода к новому основанию.

После переноса всех слагаемых в одну часть вынесите общий множитель, а не делите на него.

1. Находим ОДЗ и переходим к одному основанию

   Оба логарифма определены при x>0. По формуле перехода log₃ x=log₂ x/log₂ 3. Обозначим u=log₂ x и c=log₂ 3; c>0, так как 3>1. Уравнение: u·u/c=u+u/c.

2. Выносим общий множитель, не деля на u

   Умножаем на c>0 (равносильно): u²=cu+u, u²−(c+1)u=0, u·(u−(c+1))=0. Делить на u=log₂ x нельзя: при u=0 обе части равны нулю, и корень x=1 потерялся бы.

3. Находим корни (пункт а)

   u=0: log₂ x=0, x=1. u=c+1: log₂ x=log₂ 3+log₂ 2=log₂ 6, x=6. Оба числа положительны, ОДЗ выполнено. Корни: 1 и 6.

4. Отбираем корни с помощью оценки числа π (пункт б)

   Используем 3<π<4. Тогда π/4<4/4=1, то есть левый конец меньше 1, а 2π>2·3=6. Значит, π/4<1<6<2π, и оба корня принадлежат отрезку.

5. Проверяем и отмечаем типичные ошибки

   x=1: 0·0=0+0. x=6: log₂ 6=1+log₂ 3, log₃ 6=1+log₃ 2, и их произведение 1+log₃ 2+log₂ 3+log₂ 3·log₃ 2=2+log₂ 3+log₃ 2 совпадает с суммой — верно (log₂ 3·log₃ 2=1). Типичные ошибки: разделить на log₂ x и потерять корень 1; записать log₃ x=log₂ x·log₂ 3; посчитать π/4 «примерно 0,8», не обосновав, что π<4.

Ответ: а) 1; 6; б) 1; 6

2

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: учтено x>0, выполнен переход к основанию 2, уравнение u(u−log₂ 6)=0 решено без деления на u, найдены 1 и 6; в пункте б по оценке 3<π<4 обосновано π/4<1 и 6<2π.

1

Обоснованно получен верный ответ в пункте а, но отбор в пункте б не обоснован (например, сравнение с π/4 и 2π сделано «на глаз») или выполнен неверно; ИЛИ одна вычислительная ошибка при переходе к новому основанию при верной последовательности шагов: ОДЗ, вынесение множителя, возврат к x, отбор.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.