Условие
а) Решите уравнение log₃(sin 2x) = log₃(√3·cos x). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−4π; −π].
Подсказка
Начните с условий существования обоих логарифмов: что они говорят о знаках sin x и cos x?
После перехода к аргументам вынесите общий множитель и проверьте каждую серию по ОДЗ.
Показать ответ
а) x=π/3+2πk, k∈Z; б) −11π/3; −5π/3
Пошаговое решение
- Записываем область определения
Логарифмы определены при sin 2x>0 и √3·cos x>0. Из второго условия cos x>0, тогда sin 2x=2sin x cos x>0 означает sin x>0. Итак, ОДЗ: sin x>0 и cos x>0 — точки первой четверти единичной окружности.
- Переходим к равенству аргументов
Логарифмическая функция с основанием 3 монотонна, поэтому на ОДЗ уравнение равносильно sin 2x=√3·cos x. Тогда 2sin x cos x−√3cos x=0, cos x(2sin x−√3)=0.
- Отбрасываем лишнее по ОДЗ
cos x=0 противоречит условию cos x>0. Остаётся sin x=√3/2: x=π/3+2πk или x=2π/3+2πk. Точка 2π/3 лежит во второй четверти, там cos x=−1/2<0 — не подходит. Точка π/3: sin x=√3/2>0, cos x=1/2>0 — подходит. Ответ пункта а): x=π/3+2πk, k∈Z.
- Отбираем корни перебором k
Подставляем целые k в x=π/3+2πk и сравниваем с концами −4π и −π: k=0 даёт π/3>−π — правее отрезка; k=−1 даёт −5π/3 (−4π≤−5π/3≤−π) — подходит; k=−2 даёт −11π/3 (−12π/3≤−11π/3) — подходит; k=−3 даёт −17π/3<−4π — левее. Дальше значения только уменьшаются.
- Проверяем и отмечаем ошибки
При x=−5π/3: sin 2x=sin(−10π/3)=√3/2, √3·cos x=√3·1/2=√3/2 — аргументы равны и положительны. Типичные ошибки: не выписать ОДЗ и оставить серии x=π/2+πk и x=2π/3+2πk, в которых логарифм не определён; сократить на cos x, не обосновав, что cos x≠0.
Ответ: а) x=π/3+2πk, k∈Z; б) −11π/3; −5π/3
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: выписана ОДЗ (sin 2x>0, cos x>0), уравнение сведено к cos x(2sin x−√3)=0, по ОДЗ отброшены cos x=0 и x=2π/3+2πk, на [−4π; −π] отобраны −11π/3 и −5π/3.
- 1
- Обоснованно получен верный ответ в пункте а), но отбор в пункте б) неверен; ИЛИ из-за одной вычислительной ошибки ответ неверен, но есть верная последовательность всех шагов (ОДЗ, переход к аргументам, разложение, отбор по ОДЗ и по отрезку).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.