Условие
а) Решите уравнение 2^(x²−1) = 3^(x−1). б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [1/2; 3/4].
Подсказка
Основания разные и к одному не приводятся — прологарифмируйте обе части по основанию 2.
В полученном уравнении есть общий множитель x−1; на него нельзя делить.
Показать ответ
а) log₂ 1,5; 1; б) log₂ 1,5
Пошаговое решение
- Логарифмируем обе части
Обе части положительны при любом x. Функция log₂ t возрастает, поэтому уравнение равносильно равенству логарифмов по основанию 2: x²−1=(x−1)·log₂ 3.
- Раскладываем на множители, не деля на x−1
x²−1=(x−1)(x+1), поэтому (x−1)(x+1)−(x−1)·log₂ 3=0, (x−1)(x+1−log₂ 3)=0. Делить на x−1 нельзя: так теряется корень x=1.
- Находим корни (пункт а)
x−1=0 даёт x=1. x+1−log₂ 3=0 даёт x=log₂ 3−1=log₂ 3−log₂ 2=log₂ 1,5. Так как 1,5<2, log₂ 1,5<1. Корни: log₂ 1,5 и 1.
- Отбираем корни на отрезке (пункт б)
1>3/4 — корень 1 правее отрезка. Для log₂ 1,5: 1/2=log₂ √2 и 1,5²=2,25>2, значит, 1,5>√2 и log₂ 1,5>1/2. 3/4=log₂ 2^(3/4), а 1,5⁴=5,0625<8=2³, значит, 1,5<2^(3/4) и log₂ 1,5<3/4. Корень log₂ 1,5 принадлежит отрезку.
- Проверяем и отмечаем типичные ошибки
x=1: 2⁰=1 и 3⁰=1. При x=log₂ 1,5 выполнено x+1=log₂ 3, поэтому x²−1=(x−1)·log₂ 3 и 2^(x²−1)=(2^(log₂ 3))^(x−1)=3^(x−1). Типичные ошибки: сократить на x−1 и потерять x=1; логарифмировать только одну часть; записать x=log₂ 3−1 как log₂ 2.
Ответ: а) log₂ 1,5; 1; б) log₂ 1,5
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: обе части прологарифмированы, уравнение разложено на (x−1)(x+1−log₂ 3)=0, найдены 1 и log₂ 1,5; в пункте б доказано 1/2<log₂ 1,5<3/4 (2,25>2 и 5,0625<8).
- 1
- Обоснованно получен верный ответ в пункте а, но отбор в пункте б не обоснован или выполнен неверно; ИЛИ одна вычислительная ошибка при логарифмировании или упрощении log₂ 3−1 при верной последовательности шагов: логарифмирование, разложение без деления на x−1, отбор.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.