Условие
а) Решите уравнение 2·4^(x²) − 9·2^(x²) + 4 = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−3/2; 4/3].
Подсказка
Обозначьте 2^(x²) новой буквой и оцените, каким может быть её значение при x²≥0.
Иррациональные корни сравнивайте с концами отрезка по квадратам, следя за знаками.
Показать ответ
а) −√2; √2; б) −√2
Пошаговое решение
- Вводим замену и оцениваем её
4^(x²)=(2^(x²))². Пусть t=2^(x²). Так как x²≥0, а функция 2^s возрастает, то t≥2⁰=1. Уравнение принимает вид 2t²−9t+4=0.
- Решаем квадратное уравнение и сверяем с оценкой
D=81−32=49, t=(9±7)/4: t=4 или t=1/2. Значение t=1/2<1 не подходит: оно означало бы x²=−1. Остаётся t=4.
- Возвращаемся к x (пункт а)
2^(x²)=4=2² даёт x²=2, x=−√2 или x=√2. Оба корня нужны: квадрат не различает знак x.
- Отбираем корни на отрезке (пункт б)
Корень −√2: оба числа −√2 и −3/2 отрицательны, сравниваем их модули по квадратам: (√2)²=2<9/4=(3/2)², значит, √2<3/2 и −√2>−3/2 (при умножении на −1 знак неравенства меняется); кроме того, −√2<0<4/3. Корень −√2 принадлежит отрезку. Корень √2: (√2)²=2=18/9>16/9=(4/3)², значит, √2>4/3 — правее отрезка.
- Проверяем и отмечаем типичные ошибки
При x²=2: 2·4²−9·2²+4=32−36+4=0 — верно. Типичные ошибки: из t=1/2 записать x²=−1 и «x=±1»; потерять отрицательный корень −√2; сравнивая отрицательные числа по квадратам, не поменять знак неравенства и исключить −√2.
Ответ: а) −√2; √2; б) −√2
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: замена t=2^(x²) с оценкой t≥1, из 2t²−9t+4=0 отброшено t=1/2, найдены x=±√2; в пункте б доказано −3/2<−√2 (2<9/4) и √2>4/3 (2>16/9).
- 1
- Обоснованно получен верный ответ в пункте а, но отбор в пункте б не обоснован или выполнен неверно (например, −√2 исключён из-за ошибки со знаком); ИЛИ одна вычислительная ошибка в квадратном уравнении при верной последовательности: замена с оценкой t≥1, возврат к x, отбор на отрезке.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.