ЕГЭ, задание 13: Тригонометрическое уравнение

10^x=2^x·5^x; попробуйте сгруппировать слагаемые попарно.

Логарифмы с разными основаниями удобно сравнить через промежуточное число 1.

1. Расписываем 10^x и группируем

   10^x=2^x·5^x. Группируем первые два и последние два слагаемых: (2^x·5^x−4·5^x)−(3·2^x−12). Знак перед второй скобкой — минус, поэтому внутри неё −12 (проверка: −(3·2^x−12)=−3·2^x+12).

2. Выносим общий множитель

   5^x(2^x−4)−3(2^x−4)=(2^x−4)(5^x−3). Раскрытие скобок возвращает исходное выражение: 2^x·5^x−3·2^x−4·5^x+12.

3. Приравниваем множители к нулю (пункт а)

   Оба множителя определены при всех x, произведение равно нулю, когда один из них равен нулю. 2^x=4 даёт x=2; 5^x=3 даёт x=log₅ 3. Так как 3<5, то log₅ 3<log₅ 5=1<2, корни по возрастанию: log₅ 3; 2.

4. Отбираем корни на отрезке (пункт б)

   log₅ 3>log₅ 2, так как 3>2 и log₅ t возрастает. Сравнить log₅ 3 с log₂ 3 (разные основания) поможет число 1: log₅ 3<log₅ 5=1, а log₂ 3>log₂ 2=1. Значит, log₅ 2<log₅ 3<log₂ 3 — корень принадлежит отрезку. Корень 2=log₂ 4>log₂ 3 (4>3) — правее отрезка.

5. Проверяем и отмечаем типичные ошибки

   При x=log₅ 3: 5^x=3, 10^x=3·2^x, и 3·2^x−4·3−3·2^x+12=0 — верно. При x=2: 100−100−12+12=0 — верно. Типичные ошибки: при группировке получить −3·2^x−12; записать 10^x как 2^x+5^x; сравнивать логарифмы с разными основаниями по аргументам (3 и 3) и решить, что log₅ 3=log₂ 3.

Ответ: а) log₅ 3; 2; б) log₅ 3

2

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: выражение разложено на (2^x−4)(5^x−3), найдены корни 2 и log₅ 3; в пункте б показано log₅ 2<log₅ 3<1<log₂ 3 и 2>log₂ 3.

1

Обоснованно получен верный ответ в пункте а, но сравнение log₅ 3 с концами отрезка не обосновано или выполнено неверно; ИЛИ одна ошибка в знаке при группировке привела к неверным корням, но разложение на множители, возврат к x и отбор выполнены верной последовательностью шагов.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.