Условие
а) Решите уравнение cos(x−π/2)=0. б) Найдите все его корни на отрезке [π/2; π/2+2π].
Подсказка
cos t=0 при t=π/2+πk, k∈Z. Поэтому x=π/2+π/2+πk.
π/2≤π/2+π/2+πk≤π/2+2π. Вычитаем π/2 и делим на π: 0≤1/2+k≤2.
Показать ответ
а) x=π/2+π/2+πk, k∈Z; б) π/2+π/2; π/2+3π/2
Пошаговое решение
- Решаем простейшее уравнение
cos t=0 при t=π/2+πk, k∈Z. Поэтому x=π/2+π/2+πk.
- Подставляем в границы
π/2≤π/2+π/2+πk≤π/2+2π. Вычитаем π/2 и делим на π: 0≤1/2+k≤2.
- Отбираем целые параметры
−1/2≤k≤3/2. Целые значения только k=0 и k=1.
- Подставляем каждое значение
При k=0: x=π/2+π/2. При k=1: x=π/2+3π/2. Оба внутри отрезка, а на концах косинус равен 1, поэтому других корней нет.
Ответ: а) x=π/2+π/2+πk, k∈Z; б) π/2+π/2; π/2+3π/2