ЕГЭ, задание 13: Тригонометрическое уравнение

Запишите ограничение для котангенса до всех преобразований.

После упрощения сгруппируйте слагаемые попарно так, чтобы появилась скобка с cos x.

1. Записываем ОДЗ и упрощаем

   ctg x=cos x/sin x определён при sin x≠0, то есть x≠πk. При этом условии 2sin²x·ctg x=2sin x cos x. Уравнение: 2sin x cos x+√3=2sin x+√3 cos x.

2. Раскладываем на множители группировкой

   Переносим всё влево и группируем: (2sin x cos x−2sin x)−(√3 cos x−√3)=2sin x(cos x−1)−√3(cos x−1)=(cos x−1)(2sin x−√3)=0.

3. Решаем и сверяем с ОДЗ

   cos x=1 ⇔ x=2πk, но в этих точках sin x=0 — они не входят в ОДЗ, вся ветвь отбрасывается. 2sin x−√3=0 ⇔ sin x=√3/2 ⇔ x=π/3+2πk или x=2π/3+2πk, k∈Z; здесь sin x≠0, ОДЗ выполнена.

4. Отбираем корни двойным неравенством

   Серия π/3+2πk: −4≤1/3+2k≤−2 ⇔ −13/6≤k≤−7/6, k=−2, x=π/3−4π=−11π/3. Серия 2π/3+2πk: −4≤2/3+2k≤−2 ⇔ −7/3≤k≤−4/3, k=−2, x=2π/3−4π=−10π/3. Концы −4π и −2π удовлетворяют cos x=1, но исключены ОДЗ.

5. Проверяем корень и разбираем типичную ошибку

   x=−11π/3: sin x=√3/2, cos x=1/2, ctg x=1/√3; левая часть 2·(3/4)·(1/√3)+√3=√3/2+√3=3√3/2, правая √3+√3/2=3√3/2 — верно. Типичная ошибка — забыть ОДЗ и записать в пункт б) ещё −4π и −2π из ветви cos x=1.

Ответ: а) x=π/3+2πk; x=2π/3+2πk, k∈Z; б) −11π/3; −10π/3

2

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: записана ОДЗ sin x≠0, выполнено разложение (cos x−1)(2sin x−√3)=0, ветвь cos x=1 отброшена по ОДЗ, найдены серии и отобраны −11π/3; −10π/3.

1

Обоснованно получен верный ответ в пункте а), но отбор в пункте б) выполнен неверно или не обоснован, ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки при верной последовательности всех шагов решения обоих пунктов. Например, пункт а) решён верно с учётом ОДЗ, но в пункте б) из-за ошибки в двойном неравенстве пропущен корень −10π/3.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.