ЕГЭ, задание 13: Тригонометрическое уравнение

Числитель — квадратный трёхчлен относительно cos x.

Для каждой найденной точки окружности проверьте значение синуса: не обнуляет ли оно знаменатель?

1. Записываем условие для знаменателя

   Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю: 2sin x+√3≠0, то есть sin x≠−√3/2 (исключаются точки −π/3+2πk и −2π/3+2πk, k∈Z).

2. Решаем числитель как квадратное уравнение

   Пусть t=cos x: 2t²+3t+1=0, D=9−8=1, t=(−3±1)/4, t=−1/2 или t=−1. Оба значения лежат в [−1; 1].

3. Отбрасываем запрещённые точки

   cos x=−1/2: x=2π/3+2πk или x=−2π/3+2πk. Во второй точке sin x=−√3/2 — знаменатель равен нулю, она исключается. В точке 2π/3 sin x=√3/2, знаменатель 2√3≠0. cos x=−1: x=π+2πk, sin x=0, знаменатель √3≠0. Ответ пункта а): x=2π/3+2πk; x=π+2πk, k∈Z.

4. Отбираем корни по единичной окружности

   Отрезку [−2π; −π/2] соответствует дуга от правой точки (−2π) против часовой стрелки через верхнюю (−3π/2) и левую (−π) до нижней точки (−π/2) — три четверти окружности. На ней лежат точка 2π/3 (это −2π+2π/3=−4π/3) и точка π (это −π). Исключённая точка −2π/3 тоже лежит на этой дуге, но корнем не является.

5. Проверяем и отмечаем ошибки

   x=−4π/3: cos x=−1/2, числитель 2·1/4−3/2+1=0, sin x=√3/2, знаменатель 2√3≠0. x=−π: числитель 2−3+1=0, знаменатель √3. Типичные ошибки: включить в ответ −2π/3 (там знаменатель равен нулю); потерять ветвь cos x=−1, потому что в ней sin x=0 «кажется подозрительной».

Ответ: а) x=2π/3+2πk; x=π+2πk, k∈Z; б) −4π/3; −π

2

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: числитель сведён к cos x=−1/2 или cos x=−1, по условию 2sin x+√3≠0 исключена серия −2π/3+2πk, на отрезке [−2π; −π/2] отобраны −4π/3 и −π.

1

Обоснованно получен верный ответ в пункте а), но в пункте б) допущена ошибка отбора; ИЛИ из-за одной вычислительной ошибки ответы неверны при верной последовательности всех шагов, включая проверку знаменателя.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.