Условие
а) Решите уравнение |sin x|=cos 2x. б) Найдите его корни на отрезке [0;π].
Подсказка
Пусть t=|sin x|, тогда 0≤t≤1 и cos 2x=1−2sin²x=1−2t².
t=1−2t², значит 2t²+t−1=(2t−1)(t+1)=0. Получаем t=1/2 или t=−1.
Показать ответ
а) x=πk±π/6, k∈Z; б) π/6; 5π/6
Пошаговое решение
- Вводим неотрицательную переменную
Пусть t=|sin x|, тогда 0≤t≤1 и cos 2x=1−2sin²x=1−2t².
- Решаем квадратное уравнение
t=1−2t², значит 2t²+t−1=(2t−1)(t+1)=0. Получаем t=1/2 или t=−1.
- Возвращаемся к x
Значение t=−1 невозможно. Из |sin x|=1/2 следует x=πk±π/6, k∈Z.
- Отбираем корни на заданном отрезке
На [0;π] модуль синуса равен 1/2 в точках π/6 и 5π/6. На концах отрезка синус равен 0, они не подходят.
- Проверяем обе точки
У обеих точек sin²x=1/4, поэтому cos 2x=1−2·1/4=1/2=|sin x|.
Ответ: а) x=πk±π/6, k∈Z; б) π/6; 5π/6