ЕГЭ, задание 13: Тригонометрическое уравнение

Запишите cos 2x, sin 2x и число 3 через sin x и cos x — уравнение станет однородным.

Чтобы отобрать корни с арктангенсом, сравните arctg 2 с табличными углами π/3 и π/2.

1. Переходим к функциям угла x

   cos 2x=cos²x−sin²x, sin 2x=2sin x cos x, 3=3sin²x+3cos²x. Подставляем: cos²x−sin²x+6sin x cos x+3sin²x+3cos²x=0, то есть 2sin²x+6sin x cos x+4cos²x=0, или sin²x+3sin x cos x+2cos²x=0 — однородное уравнение второй степени.

2. Делим на cos²x и решаем квадратное уравнение

   Если cos x=0, то из уравнения sin²x=0 — противоречие с sin²x+cos²x=1, поэтому cos x≠0. Делим на cos²x: tg²x+3tg x+2=0, (tg x+1)(tg x+2)=0, tg x=−1 или tg x=−2.

3. Записываем серии

   tg x=−1 ⇔ x=−π/4+πk; tg x=−2 ⇔ x=−arctg 2+πk, k∈Z. Значение arctg 2 не табличное — оставляем его в ответе, а для отбора оцениваем: tg(π/3)=√3<2, и тангенс возрастает, поэтому π/3<arctg 2<π/2.

4. Отбираем корни с помощью оценки

   Серия −π/4+πk: π≤−π/4+πk≤5π/2 ⇔ 5/4≤k≤11/4, k=2, x=7π/4. Серия −arctg 2+πk: при k=1 число π−arctg 2 лежит между π/2 и 2π/3, то есть меньше π; при k=2 число 2π−arctg 2 лежит между 3π/2 и 5π/3 — в отрезке; при k=3 число 3π−arctg 2 больше 5π/2, так как arctg 2<π/2.

5. Упорядочиваем корни и разбираем типичную ошибку

   2π−arctg 2<5π/3<7π/4, поэтому первым записываем 2π−arctg 2. Проверка x=7π/4: cos(7π/2)=0, sin(7π/2)=−1, 0+3·(−1)+3=0 — верно. Типичные ошибки — разделить на cos²x, не показав, что cos x≠0, или ограничиться грубой оценкой 0<arctg 2<π/2, по которой нельзя упорядочить корни.

Ответ: а) x=−π/4+πk; x=−arctg 2+πk, k∈Z; б) 2π−arctg 2; 7π/4

2

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: уравнение сведено к однородному, обосновано деление на cos²x, найдены серии x=−π/4+πk и x=−arctg 2+πk, отбор выполнен с оценкой π/3<arctg 2<π/2: 2π−arctg 2; 7π/4.

1

Обоснованно получен верный ответ в пункте а), но отбор в пункте б) выполнен неверно или не обоснован, ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки при верной последовательности всех шагов решения обоих пунктов. Например, корень с арктангенсом отобран без обоснованной оценки его положения.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.