Условие
а) Решите уравнение (3tg²x − 1)·√(−2cos x) = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−3π; −π/2].
Подсказка
Выпишите условия существования и тангенса, и корня одновременно.
Проверьте, может ли корень обратиться в ноль там, где определён тангенс.
Показать ответ
а) x=±5π/6+2πk, k∈Z; б) −17π/6; −7π/6; −5π/6
Пошаговое решение
- Находим ОДЗ
Тангенс определён при cos x≠0, корень — при −2cos x≥0, то есть cos x≤0. Вместе: cos x<0 (левая полуокружность без точек ±π/2).
- Разбираем второй множитель
√(−2cos x)=0 только при cos x=0, но в этих точках не определён tg x. Значит, этот множитель корней уравнения не даёт — это главная ловушка задачи.
- Разбираем первый множитель
3tg²x−1=0, tg²x=1/3, tg x=±1/√3, x=±π/6+πk. Из четырёх точек окружности π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6 условию cos x<0 удовлетворяют 5π/6 и 7π/6=−5π/6+2π. Ответ пункта а): x=±5π/6+2πk, k∈Z.
- Отбираем корни двойным неравенством
Обе серии имеют период 2π. −3π ≤ 5π/6+2πk ≤ −π/2; делим на π, вычитаем 5/6 и делим на 2: −23/12 ≤ k ≤ −2/3, k=−1: x=−7π/6; −3π ≤ −5π/6+2πk ≤ −π/2; делим на π, прибавляем 5/6 и делим на 2: −13/12 ≤ k ≤ 1/6, k=−1: x=−17π/6, k=0: x=−5π/6.
- Записываем ответ и проверяем
По возрастанию: −17π/6; −7π/6; −5π/6. Проверка x=−5π/6: tg²x=1/3, 3·1/3−1=0, а −2cos x=√3>0 — корень определён. Типичные ошибки: записать в ответ x=π/2+πk из √(−2cos x)=0; оставить все четыре точки ±π/6+πk без учёта cos x<0.
Ответ: а) x=±5π/6+2πk, k∈Z; б) −17π/6; −7π/6; −5π/6
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: ОДЗ cos x<0, показано, что нули корня (cos x=0) не входят в ОДЗ тангенса, из tg²x=1/3 оставлены x=±5π/6+2πk, на [−3π; −π/2] отобраны −17π/6, −7π/6, −5π/6.
- 1
- Обоснованно получен верный ответ в пункте а), но в пункте б) отбор неверен; ИЛИ из-за одной вычислительной ошибки ответы неверны при верной последовательности всех шагов: ОДЗ, оба множителя, отбор по ОДЗ и по отрезку.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.