ЕГЭ, задание 13: Тригонометрическое уравнение

Все три степени выражаются через 3^x и 2^x, причём в каждом слагаемом «две» такие степени.

Разделите обе части на 4^x и обозначьте новую переменную через (3/2)^x.

1. Замечаем однородность

   9^x=(3^x)², 4^x=(2^x)², 6^x=3^x·2^x. Если a=3^x, b=2^x, уравнение имеет вид 12a²−35ab+18b²=0: все слагаемые «второй степени» по a и b. Такое уравнение решают делением на квадрат одной из переменных.

2. Делим на 4^x и вводим замену

   4^x>0 при всех x, поэтому деление на 4^x равносильно и корней не теряет. 9^x/4^x=((3/2)^x)², 6^x/4^x=(3/2)^x. Пусть u=(3/2)^x>0: 12u²−35u+18=0, D=35²−4·12·18=1225−864=361=19², u=(35±19)/24, то есть u=54/24=9/4 или u=16/24=2/3.

3. Возвращаемся к x (пункт а)

   (3/2)^x=9/4=(3/2)² даёт x=2; (3/2)^x=2/3=(3/2)^(−1) даёт x=−1. Корни: −1 и 2.

4. Отбираем корни на отрезке (пункт б)

   Левый конец: −1=−log₅ 5. Так как log₅ t возрастает и 5>3, то log₅ 5>log₅ 3, а после умножения на −1 знак меняется: −1<−log₅ 3. Значит, −1 левее отрезка. Правый конец: 2=log₃ 9<log₃ 10, так как 9<10, и 2>0>−log₅ 3. Значит, 2 принадлежит отрезку.

5. Проверяем и отмечаем типичные ошибки

   x=2: 12·81−35·36+18·16=972−1260+288=0. x=−1: 12/9−35/6+18/4=(8−35+27)/6=0. Оба корня верны. Типичные ошибки: делить на 6^x и не увидеть квадратного уравнения; из (3/2)^x=2/3 получить x=1 вместо −1; сравнивая −1 и −log₅ 3, не поменять знак неравенства.

Ответ: а) −1; 2; б) 2

2

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: уравнение разделено на 4^x>0, из 12u²−35u+18=0 найдены u=9/4 и u=2/3, корни 2 и −1; в пункте б доказано −1<−log₅ 3 и 2<log₃ 10.

1

Обоснованно получен верный ответ в пункте а, но отбор в пункте б не обоснован или выполнен неверно (например, −1 включён в ответ); ИЛИ одна вычислительная ошибка в дискриминанте или при переходе от u к x при верной последовательности деления, замены и отбора.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.