Условие
а) Решите √(1−cos2x)=√2·cos x. б) Найдите корни на отрезке [0;2π].
Подсказка
1−cos2x=2sin²x, поэтому левая часть равна √2·|sin x|, а не √2·sin x.
Уравнение эквивалентно |sin x|=cos x. Значит cos x≥0; после возведения в квадрат sin²x=cos²x.
Показать ответ
а) x=±π/4+2πk, k∈Z; б) π/4; 7π/4
Пошаговое решение
- Сохраняем знак при извлечении корня
1−cos2x=2sin²x, поэтому левая часть равна √2·|sin x|, а не √2·sin x.
- Учитываем знак правой части
Уравнение эквивалентно |sin x|=cos x. Значит cos x≥0; после возведения в квадрат sin²x=cos²x.
- Отбираем допустимые четверти
Из sin²x=cos²x получаем x=π/4+πk/2. Условие cos x≥0 оставляет x=π/4+2πk или x=−π/4+2πk. Эти значения удовлетворяют исходному равенству.
- Отбираем корни на отрезке
На одном полном периоде от 0 до 2π остаются π/4 и 7π/4. Концы отрезка корнями не являются.
Ответ: а) x=±π/4+2πk, k∈Z; б) π/4; 7π/4