ЕГЭ, задание 13: Тригонометрическое уравнение

Число 3 запишите через основное тригонометрическое тождество.

Посмотрите внимательно на получившийся трёхчлен: не квадрат ли это разности?

1. Делаем уравнение однородным

   Правая часть — константа, а левая — второй степени по sin x и cos x. Запишем 3=3(sin²x+cos²x) и sin 2x=2sin x cos x: 2sin²x+2√3 sin x cos x=3sin²x+3cos²x.

2. Переносим и узнаём полный квадрат

   sin²x−2√3 sin x cos x+3cos²x=0. Это (sin x)²−2·sin x·(√3 cos x)+(√3 cos x)²=(sin x−√3 cos x)²=0, значит sin x=√3 cos x.

3. Обосновываем деление на cos x

   Если cos x=0, то и sin x=√3·0=0, что невозможно при sin²x+cos²x=1. Делим на cos x≠0: tg x=√3, x=π/3+πk, k∈Z. Серия одна: у квадратного уравнения t²−2√3t+3=0 (t=tg x) дискриминант равен нулю.

4. Отбираем корни по графику тангенса

   На каждом промежутке (−π/2+πn; π/2+πn) тангенс возрастает и принимает значение √3 ровно один раз — в точке π/3+πn. Отрезок [−3π; −π] задевает промежутки с n=−3, −2, −1: корни −8π/3, −5π/3, −2π/3. −8π/3≈−2,67π и −5π/3≈−1,67π лежат в отрезке, а −2π/3>−π — нет; −11π/3<−3π тоже вне.

5. Проверяем корень и разбираем типичную ошибку

   x=−8π/3: sin x=−√3/2, sin²x=3/4, 2sin²x=3/2; sin 2x=sin(−16π/3)=sin(2π/3)=√3/2, √3·√3/2=3/2; сумма 3 — верно. Типичная ошибка — оставить 3 в правой части и пытаться делить на cos²x неоднородное уравнение, или записать две одинаковые серии π/3+πk как разные.

Ответ: а) x=π/3+πk, k∈Z; б) −8π/3; −5π/3

2

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: уравнение сведено к однородному заменой 3=3(sin²x+cos²x), обосновано деление на cos x, найдена серия x=π/3+πk и отобраны −8π/3; −5π/3.

1

Обоснованно получен верный ответ в пункте а), но отбор в пункте б) выполнен неверно или не обоснован, ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки при верной последовательности всех шагов решения обоих пунктов. Например, при отборе по графику тангенса ошибочно включён корень −2π/3.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.