ЕГЭ, задание 13: Тригонометрическое уравнение

Произведение равно нулю, только если сомножитель равен нулю и при этом другой сомножитель имеет смысл.

Изобразите на окружности все точки, где первый множитель равен нулю, и закрасьте область sin x>0.

1. Выписываем ОДЗ

   Логарифм определён только при sin x>0: допустимы точки верхней полуокружности (без концов 0 и π).

2. Приравниваем множители к нулю

   Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другой при этом определён. Первый множитель: cos x(2cos x+1)=0, то есть cos x=0 или cos x=−1/2. Второй: log₂(sin x)=0, то есть sin x=1.

3. Отбираем по ОДЗ

   cos x=0: точки π/2 и −π/2; условию sin x>0 удовлетворяет только x=π/2+2πk. cos x=−1/2: точки 2π/3 и −2π/3; подходит только x=2π/3+2πk (sin(2π/3)=√3/2>0). sin x=1 даёт снова x=π/2+2πk. Ответ пункта а): x=π/2+2πk; x=2π/3+2πk, k∈Z.

4. Отбираем корни по единичной окружности

   Отрезок [−7π/2; −2π] — дуга длиной 3π/2: от верхней точки (−7π/2 — то же место, что π/2) против часовой стрелки через левую (−3π) и нижнюю (−5π/2) до правой точки (−2π). Отмеченные точки π/2 и 2π/3 лежат в верхней полуплоскости: π/2 совпадает с началом дуги, это −7π/2; точка 2π/3 идёт сразу после него, это −4π+2π/3=−10π/3. Нижняя полуокружность корней не содержит.

5. Проверяем и отмечаем ошибки

   x=−10π/3: cos x=−1/2, 2cos²x+cos x=1/2−1/2=0, sin x=√3/2>0 — логарифм определён. Типичные ошибки: оставить серии x=−π/2+2πk и x=−2π/3+2πk, где sin x<0 и логарифм не существует; записать серию π/2+2πk дважды; забыть, что левый конец −7π/2 — корень.

Ответ: а) x=π/2+2πk; x=2π/3+2πk, k∈Z; б) −7π/2; −10π/3

2

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: учтена ОДЗ sin x>0, из cos x=0, cos x=−1/2 и sin x=1 оставлены только x=π/2+2πk и x=2π/3+2πk, на отрезке [−7π/2; −2π] отобраны −7π/2 и −10π/3.

1

Обоснованно получен верный ответ в пункте а), но в пункте б) отбор неверен (например, потерян конец −7π/2); ИЛИ из-за одной вычислительной ошибки ответы неверны при верной последовательности всех шагов решения обоих пунктов с учётом ОДЗ.

0

Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.