Условие
а) Решите уравнение 8^x + 3 = 3·4^x + 2^x. б) Укажите его корни, лежащие на отрезке [log₄ 5; 2].
Подсказка
Все три степени выражаются через 2^x; получится многочлен третьей степени.
Чтобы сравнить log₂ 3 с концами отрезка, запишите его как логарифм по основанию 4.
Показать ответ
а) 0; log₂ 3; б) log₂ 3
Пошаговое решение
- Вводим замену
8^x=(2^x)³, 4^x=(2^x)². Пусть t=2^x; при любом x выполнено t>0. Переносим всё в левую часть: t³−3t²−t+3=0 — кубическое уравнение относительно t.
- Раскладываем многочлен группировкой
t³−3t²−t+3=t²(t−3)−(t−3)=(t−3)(t²−1)=(t−3)(t−1)(t+1). Произведение равно нулю, если t=3, t=1 или t=−1. Значение t=−1 не подходит: 2^x>0 при всех x.
- Возвращаемся к x (пункт а)
2^x=1=2⁰ даёт x=0; 2^x=3 даёт x=log₂ 3. Функция 2^x принимает каждое положительное значение ровно один раз, поэтому корней ровно два: 0 и log₂ 3 (0<log₂ 3, так как 3>1).
- Приводим логарифмы к одному основанию и отбираем корни (пункт б)
Концы отрезка — логарифмы по основанию 4: log₄ 5 и 2=log₄ 16. Корень log₂ 3 переводим к основанию 4: log₄ 9=log₂ 9/log₂ 4=2log₂ 3/2=log₂ 3. Аналогично 0=log₄ 1. Функция log₄ t возрастает, поэтому сравниваем аргументы с 5 и 16: 1<5 — корень 0 левее отрезка; 5≤9≤16 — корень log₂ 3 принадлежит отрезку.
- Проверяем и отмечаем типичные ошибки
x=log₂ 3: 8^x=27, 4^x=9, 2^x=3, и 27−27−3+3=0 — верно. x=0: 1−3−1+3=0 — верно. Типичные ошибки: оставить t=−1 и «найти» x=log₂(−1); сравнить log₂ 3 и log₄ 5 по аргументам 3<5, не приведя основания, и ошибочно исключить корень log₂ 3 (на самом деле log₂ 3=log₄ 9>log₄ 5).
Ответ: а) 0; log₂ 3; б) log₂ 3
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: после замены t=2^x>0 многочлен разложен на (t−3)(t−1)(t+1), значение t=−1 отброшено, корни 0 и log₂ 3; в пункте б log₂ 3 записан как log₄ 9 и обосновано 1<5≤9≤16.
- 1
- Обоснованно получен верный ответ в пункте а, но в пункте б логарифмы с разными основаниями сравнены без приведения к одному основанию или отбор выполнен неверно; ИЛИ одна вычислительная ошибка при разложении многочлена при верной последовательности замены, отбора t>0 и отбора на отрезке.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.