Условие
а) Решите уравнение 25^x − 3·5^(x+1) + 54 = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [log₅ 7; 2].
Подсказка
Выразите 25^x и 5^(x+1) через одну и ту же степень 5^x.
Число 2 запишите как логарифм по основанию 5 и сравнивайте аргументы логарифмов.
Показать ответ
а) log₅ 6; log₅ 9; б) log₅ 9
Пошаговое решение
- Приводим степени к одному основанию
25^x=(5²)^x=(5^x)², а 5^(x+1)=5·5^x, поэтому 3·5^(x+1)=15·5^x. Уравнение принимает вид (5^x)²−15·5^x+54=0.
- Вводим замену
Пусть t=5^x; при любом x выполнено t>0. Получаем t²−15t+54=0. D=15²−4·54=225−216=9, t=(15±3)/2, то есть t=6 или t=9. Оба значения положительны, значит, оба подходят.
- Возвращаемся к x (пункт а)
5^x=6 даёт x=log₅ 6, 5^x=9 даёт x=log₅ 9. Уравнение определено при всех x, замена t=5^x обратима, поэтому других корней нет. Так как основание 5>1 и 6<9, то log₅ 6<log₅ 9.
- Отбираем корни на отрезке (пункт б)
Запишем правый конец как логарифм: 2=log₅ 25. Функция y=log₅ t возрастает, поэтому условие log₅ 7≤log₅ t≤log₅ 25 равносильно 7≤t≤25. Для log₅ 6: 6<7 — корень левее отрезка. Для log₅ 9: 7≤9≤25 — корень принадлежит отрезку.
- Проверяем и отмечаем типичные ошибки
При x=log₅ 9: 5^x=9, 25^x=81, 3·5^(x+1)=15·9=135, и 81−135+54=0 — верно. Типичные ошибки: записать 3·5^(x+1) как 3·5^x+1 или как 15^(x+1); сравнивать log₅ 9 с числом 2 «на глаз», не переходя к сравнению 9<25.
Ответ: а) log₅ 6; log₅ 9; б) log₅ 9
Критерии оценивания (2 балла)
- 2
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: замена t=5^x>0 даёт t=6 и t=9, записаны корни log₅ 6 и log₅ 9, а отбор в пункте б обоснован переходом 2=log₅ 25 и сравнением 6<7≤9≤25.
- 1
- Обоснованно получен верный ответ в пункте а, но отбор в пункте б не обоснован или выполнен неверно; ИЛИ из-за одной вычислительной ошибки (в 3·5^(x+1)=15·5^x или в дискриминанте) получены неверные корни, но верно выполнены замена, возврат к x и отбор на отрезке [log₅ 7; 2].
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.