Условие
В пирамиде SABCD основание — прямоугольник ABCD со сторонами AB = 6 и AD = 8, все боковые рёбра равны 7, O — точка пересечения диагоналей основания. а) Докажите, что SO — высота пирамиды. б) Найдите угол между прямыми SA и BD.
Подсказка
Равные наклонные из одной точки имеют равные проекции.
После пункта а удобно ввести координаты с началом в O; не забудьте, что угол между прямыми — острый.
Показать ответ
arccos(1/5)
Пошаговое решение
- а) Основание высоты равноудалено от вершин
Пусть H — основание высоты пирамиды. Прямоугольные треугольники SHA, SHB, SHC, SHD имеют общий катет SH и равные гипотенузы 7, поэтому HA = HB = HC = HD. Значит, H — центр окружности, описанной около прямоугольника.
- а) Центр описанной окружности прямоугольника
Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам: OA = OB = OC = OD. Поэтому центр описанной окружности — точка O, H = O, и SO — высота. Что и требовалось доказать.
- б) Вводим координаты
Начало в O, оси параллельны AB и AD, ось Oz по SO. BD = √(36 + 64) = 10, OA = 5, SO = √(49 − 25) = √24 = 2√6. A(−3; −4; 0), B(3; −4; 0), D(−3; 4; 0), S(0; 0; 2√6). Векторы SA = (−3; −4; −2√6), BD = (−6; 8; 0).
- Косинус угла между прямыми
SA·BD = 18 − 32 + 0 = −14, |SA| = 7, |BD| = 10. Косинус угла между ПРЯМЫМИ берётся по модулю: cos φ = |−14|/(7·10) = 1/5, φ = arccos(1/5). Тот же результат даёт средняя линия ON ∥ SA (N — середина SC) и теорема косинусов в треугольнике NOB.
- Записываем ответ
Угол между прямыми SA и BD равен arccos(1/5). Типичная ошибка — записать arccos(−1/5): угол между векторами получился тупым, а угол между прямыми не превосходит 90°.
Ответ: arccos(1/5)
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: доказано, что SO — высота (основание высоты — центр описанной окружности прямоугольника), и обоснованно найдено угол arccos(1/5) с модулем косинуса.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ в пункте б (угол arccos(1/5) с модулем косинуса), ИЛИ имеется верное доказательство пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, неверно найдена высота SO = 2√6 или скалярное произведение).
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (SO — высота (основание высоты — центр описанной окружности прямоугольника)), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а без его доказательства (координаты введены с вершиной над O без доказательства пункта а).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.