Условие
Шар радиуса 7 с центром O пересечён двумя перпендикулярными плоскостями α и β. Сечения шара этими плоскостями — круги радиусов 3√5 и 2√10 с центрами O₁ и O₂ соответственно; окружности этих сечений имеют две общие точки A и B, K — середина отрезка AB. а) Докажите, что OO₁KO₂ — прямоугольник. б) Найдите длину отрезка AB.
Подсказка
Как расположен отрезок, соединяющий центр шара с центром сечения, относительно плоскости сечения?
Найдите расстояния от O до обеих плоскостей; в прямоугольнике диагональ находится по теореме Пифагора.
Показать ответ
12
Пошаговое решение
- а) Отрезки к центрам сечений
Отрезок, соединяющий центр шара с центром сечения, перпендикулярен плоскости сечения: OO₁ ⊥ α, OO₂ ⊥ β. AB — общая хорда двух окружностей, K — её середина, поэтому O₁K ⊥ AB и O₂K ⊥ AB (медианы равнобедренных треугольников O₁AB и O₂AB).
- а) Три прямых угла
Прямая AB — линия пересечения α и β, O₁K ⊂ α и O₂K ⊂ β перпендикулярны ей, значит, ∠O₁KO₂ — линейный угол прямого двугранного угла: ∠O₁KO₂ = 90°. OO₁ ⊥ α, поэтому OO₁ ⊥ O₁K, ∠OO₁K = 90°; аналогично ∠OO₂K = 90°. Все четыре точки лежат в одной плоскости — плоскости O₁KO₂, перпендикулярной AB (OO₁ ⊥ AB и проходит через O₁). Четырёхугольник с тремя прямыми углами — прямоугольник.
- б) Расстояния до плоскостей
OO₁ = √(R² − r₁²) = √(49 − 45) = 2, OO₂ = √(49 − 40) = 3. В прямоугольнике O₁K = OO₂ = 3, поэтому OK² = OO₁² + O₁K² = 4 + 9 = 13.
- б) Половина хорды
OK лежит в плоскости, перпендикулярной AB, значит, OK ⊥ AB, и в прямоугольном треугольнике OKA: AK = √(OA² − OK²) = √(49 − 13) = 6, AB = 2·AK = 12.
- Записываем ответ и проверяем
Ответ: 12. Проверка в сечении α: O₁A = √(O₁K² + AK²) = √(9 + 36) = √45 = 3√5 — радиус первого сечения; в сечении β: O₂A = √(O₂K² + AK²) = √(4 + 36) = 2√10. Типичная ошибка — считать OK равным OO₁ или OO₂ (забыть, что K — вершина прямоугольника, противоположная O) и получить AK = √45 или √40.
Ответ: 12
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что OO₁KO₂ — прямоугольник (OO₁ ⊥ α, OO₂ ⊥ β, ∠O₁KO₂ — линейный угол прямого двугранного угла, точки лежат в плоскости, перпендикулярной AB); в пункте б найдены OO₁ = 2, OO₂ = 3, OK² = 13 и половина хорды AK = 6 из треугольника OKA и получен ответ 12.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ 12 в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (OO₁KO₂ — прямоугольник) и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (OO₁KO₂ — прямоугольник), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.