Условие
В пирамиде SABC основание — прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C, AC = 8, BC = 6, а все боковые рёбра равны √34. а) Докажите, что плоскость SAB перпендикулярна плоскости ABC. б) Найдите расстояние от точки B до плоскости SAC.
Подсказка
Куда падает высота пирамиды, если все боковые рёбра равны?
Сначала найдите расстояние от середины AB до плоскости SAC, а потом используйте отношение AB : AO.
Показать ответ
3√2
Пошаговое решение
- а) Основание высоты — середина гипотенузы
Равные наклонные SA, SB, SC имеют равные проекции, поэтому основание O высоты равноудалено от A, B, C — это центр описанной окружности прямоугольного треугольника, то есть середина гипотенузы AB.
- а) Признак перпендикулярности плоскостей
Плоскость SAB проходит через прямую SO, перпендикулярную плоскости ABC, значит, плоскости SAB и ABC перпендикулярны.
- б) От точки B к точке O
Прямая BO пересекает плоскость SAC в точке A, и AB = 2·AO. Расстояния от точек прямой до плоскости пропорциональны расстояниям до точки пересечения, поэтому d(B) = 2·d(O).
- Расстояние от O до плоскости SAC
AB = 10, SO = √(34 − 25) = 3. Пусть K — середина AC; OK — средняя линия, OK ∥ BC, поэтому OK ⊥ AC и OK = 3. AC ⊥ OK и AC ⊥ SO, значит, AC ⊥ (SOK) и (SOK) ⊥ (SAC). Перпендикуляр OL на SK — перпендикуляр к плоскости SAC: SK = √(9 + 9) = 3√2, OL = SO·OK/SK = 9/(3√2) = 3√2/2.
- Записываем ответ
d(B) = 2·3√2/2 = 3√2. Типичная ошибка — ответить 3√2/2, забыв, что ищется расстояние от B, а не от O, или считать расстоянием BC = 6 (BC ⊥ AC, но BC не перпендикулярна SC).
Ответ: 3√2
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: доказано, что плоскости SAB и ABC перпендикулярны (высота падает в середину AB), и обоснованно найдено расстояние 3√2 = 2·d(O).
- 2
- Обоснованно получен верный ответ в пункте б (расстояние 3√2 = 2·d(O)), ИЛИ имеется верное доказательство пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, ошибка при вычислении SO = √9 = 3, SK = 3√2 или дроби 9/(3√2)).
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (плоскости SAB и ABC перпендикулярны (высота падает в середину AB)), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а без его доказательства (использовано, что высота падает в середину AB, без доказательства).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.