Условие
Отрезок AB — диаметр нижнего основания цилиндра, отрезок CD — диаметр верхнего основания, O₁ — центр верхнего основания, причём прямые AB и CD перпендикулярны. Радиус основания цилиндра равен 3, высота равна 4. а) Докажите, что прямая CD перпендикулярна плоскости ABO₁. б) Найдите объём тетраэдра ABCD.
Подсказка
Найдите в плоскости ABO₁ две пересекающиеся прямые, каждая из которых перпендикулярна CD.
Плоскость ABO₁ разрезает тетраэдр на две пирамиды с общим основанием; чему равны их высоты?
Показать ответ
24
Пошаговое решение
- а) Две прямые плоскости ABO₁, перпендикулярные CD
Пусть O — центр нижнего основания; O лежит на AB, и ось OO₁ лежит в плоскости ABO₁. Ось перпендикулярна плоскости верхнего основания, поэтому OO₁ ⊥ CD. По условию CD ⊥ AB. Прямые AB и OO₁ пересекаются в точке O и лежат в плоскости ABO₁, значит, по признаку CD ⊥ (ABO₁).
- б) Разбиваем тетраэдр плоскостью ABO₁
Точка O₁ — середина CD, поэтому плоскость ABO₁ делит тетраэдр ABCD на две пирамиды CABO₁ и DABO₁ с общим основанием ABO₁. По пункту а их высоты — отрезки O₁C и O₁D, перпендикулярные этой плоскости, каждая равна радиусу 3.
- б) Площадь основания ABO₁
В треугольнике ABO₁ основание AB = 2·3 = 6, высота — OO₁ = 4 (OO₁ ⊥ AB). S(ABO₁) = (1/2)·6·4 = 12.
- б) Складываем объёмы
V = (1/3)·S(ABO₁)·O₁C + (1/3)·S(ABO₁)·O₁D = (1/3)·12·(3 + 3) = (1/3)·12·6 = 24.
- Записываем ответ и проверяем
Ответ: 24. Проверка по формуле V = (1/6)·AB·CD·d·sin φ, где d = 4 — расстояние между AB и CD, φ = 90°: (1/6)·6·6·4 = 24. Типичная ошибка — взять за высоты пирамид высоту цилиндра 4 вместо отрезков O₁C и O₁D или забыть, что пирамид две, и получить 12.
Ответ: 24
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что CD ⊥ (ABO₁) (CD ⊥ AB по условию, CD ⊥ OO₁, так как ось перпендикулярна основанию; признак перпендикулярности прямой и плоскости); в пункте б тетраэдр разбит плоскостью ABO₁ на две пирамиды с высотами O₁C = O₁D = 3 и S(ABO₁) = 12 (или использована формула через скрещивающиеся рёбра) и получен ответ 24.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ 24 в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (CD перпендикулярна плоскости ABO₁) и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (CD перпендикулярна плоскости ABO₁), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.