Условие
Радиус шара с центром O равен 6. Прямая ℓ удалена от точки O на расстояние 10. Через прямую ℓ проведены две плоскости, касающиеся сферы — поверхности шара — в точках A и B. а) Докажите, что прямая ℓ перпендикулярна плоскости OAB. б) Найдите длину отрезка AB.
Подсказка
Какой угол образует радиус, проведённый в точку касания, с касательной плоскостью и с каждой прямой этой плоскости?
Рассмотрите сечение плоскостью OAB: в нём окружность и две касательные из одной точки.
Показать ответ
48/5
Пошаговое решение
- а) Радиус в точку касания
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости: OA ⊥ α, OB ⊥ β, где α и β — касательные плоскости, проходящие через ℓ. Прямая ℓ лежит и в α, и в β, поэтому OA ⊥ ℓ и OB ⊥ ℓ.
- а) Признак перпендикулярности
Прямые OA и OB пересекаются в точке O (они различны, так как плоскости α и β различны). По признаку перпендикулярности прямой и плоскости ℓ ⊥ (OAB).
- б) Переходим к плоскому чертежу
Пусть K — точка пересечения ℓ с плоскостью OAB. Тогда OK ⊥ ℓ, и OK — расстояние от O до ℓ: OK = 10. Прямые KA ⊂ α и KB ⊂ β, поэтому OA ⊥ KA и OB ⊥ KB: треугольники OAK и OBK прямоугольные с общей гипотенузой OK = 10 и катетами OA = OB = 6. Отсюда KA = KB = √(100 − 36) = 8.
- б) Вычисляем AB
Четырёхугольник OAKB — дельтоид, его диагонали перпендикулярны: AB ⊥ OK, и AB делится прямой OK пополам. Половина AB — высота прямоугольного треугольника OAK к гипотенузе: OA·KA/OK = 6·8/10 = 24/5. Значит, AB = 2·24/5 = 48/5.
- Записываем ответ и проверяем
Ответ: 48/5. Проверка через площадь дельтоида: (1/2)·OK·AB = 2·S(OAK) = 6·8 = 48, AB = 2·48/10 = 48/5. Типичная ошибка — взять за AB длину касательного отрезка KA = 8 или забыть удвоить высоту треугольника.
Ответ: 48/5
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что ℓ ⊥ (OAB) (радиусы OA и OB перпендикулярны касательным плоскостям, а значит, прямой ℓ, лежащей в обеих; признак перпендикулярности прямой и плоскости); в пункте б задача сведена к плоскому чертежу в плоскости OAB, найдены OK = 10, KA = 8 и половина AB как высота треугольника OAK и получен ответ 48/5.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ 48/5 в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (ℓ перпендикулярна плоскости OAB) и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (ℓ перпендикулярна плоскости OAB), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.