Условие
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AB=6, AD=8, AA₁=10. а) Докажите, что прямая AA₁ параллельна плоскости BDD₁. б) Найдите расстояние от точки A₁ до плоскости BDD₁.
Подсказка
Сравните AA₁ с ребром DD₁, лежащим в указанной плоскости.
Искомое расстояние равно высоте из A к диагонали BD прямоугольника со сторонами 6 и 8.
Показать ответ
24/5
Пошаговое решение
- Намечаем ход решения
Сравните AA₁ с ребром DD₁, лежащим в указанной плоскости. Искомое расстояние равно высоте из A к диагонали BD прямоугольника со сторонами 6 и 8.
- Пункт а
а) Рёбра AA₁ и DD₁ параллельны.
- Выполняем преобразование
Прямая AA₁ не лежит в плоскости BDD₁, а DD₁ лежит в ней, поэтому AA₁∥(BDD₁).
- Пункт б
б) Плоскость BDD₁ перпендикулярна основанию и пересекает его по BD.
- Выполняем преобразование
Расстояние от A₁ до неё равно расстоянию от A до BD.
- Выполняем преобразование
Площадь треугольника ABD равна 6·8/2, а BD=√(6²+8²)=10.
- Выполняем преобразование
Если AH⊥BD, то AH=2S/BD=6·8/10=24/5.
Ответ: 24/5