Условие
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 6 точка M — середина ребра CC₁. а) Докажите, что основание перпендикуляра, опущенного из точки M на прямую BD₁, — середина отрезка BD₁. б) Найдите расстояние от точки M до прямой BD₁.
Подсказка
Сравните отрезки MB и MD₁: из каких прямоугольных треугольников они находятся?
В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой.
Показать ответ
3√2
Пошаговое решение
- а) Сравниваем отрезки MB и MD₁
Треугольник BCM прямоугольный (ребро CC₁ перпендикулярно BC), BC=6, CM=3. Треугольник D₁C₁M прямоугольный (C₁D₁ ⊥ CC₁), C₁D₁=6, C₁M=3. Они равны по двум катетам, поэтому MB=MD₁=√(36+9)=√45=3√5.
- а) Используем равнобедренный треугольник
Треугольник BMD₁ равнобедренный с основанием BD₁. Пусть O — середина BD₁. Медиана MO равнобедренного треугольника является его высотой, поэтому MO ⊥ BD₁. Перпендикуляр из точки к прямой единственный, значит, его основание — точка O, середина BD₁, что и требовалось доказать.
- б) Находим диагональ куба
BD₁²=6²+6²+6²=108, BD₁=6√3 (диагональ куба с ребром a равна a√3). Значит, BO=3√3.
- Находим MO по теореме Пифагора
В прямоугольном треугольнике MOB: MO²=MB²−BO²=45−27=18, MO=√18=3√2.
- Записываем ответ пункта б
Расстояние от M до прямой BD₁ равно 3√2. Для самопроверки: O — центр куба, а MO параллелен диагонали грани и равен её половине, 6√2:2=3√2. Типичная ошибка — взять за расстояние наклонную MB или MD₁ (3√5).
Ответ: 3√2
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: доказано MB=MD₁ (равные прямоугольные треугольники BCM и D₁C₁M), поэтому медиана MO треугольника BMD₁ — высота; найдено MO=√(MB²−BO²)=√(45−27), получен ответ 3√2.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ 3√2 в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (MB=MD₁ и свойство медианы равнобедренного треугольника), а при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, ошибка в BD₁=6√3 или в MB²=45).
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (MB=MD₁ и свойство медианы равнобедренного треугольника), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ ответ 3√2 обоснованно получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.