Условие
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ основание ABCD — квадрат со стороной 4, а боковое ребро AA₁ равно 7. Точка K — середина ребра AA₁. Плоскость проходит через точки B, K и D₁. а) Докажите, что сечение параллелепипеда этой плоскостью — ромб. б) Найдите площадь сечения.
Подсказка
Секущая плоскость пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. Где она пересечёт ребро CC₁?
Площадь ромба удобно искать через его диагонали; одна из них — диагональ параллелепипеда.
Показать ответ
18√2
Пошаговое решение
- а) Строим сечение
Грани AA₁D₁D и BB₁C₁C параллельны, поэтому секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. В грани AA₁D₁D след — отрезок KD₁. Проведём в грани BB₁C₁C через B прямую BL ∥ KD₁, L ∈ CC₁. Грани AA₁B₁B и DD₁C₁C тоже параллельны, поэтому KB ∥ D₁L, и сечение BKD₁L — параллелограмм. Так как BL=KD₁ и BL ∥ KD₁, точка L поднята над C на столько же, на сколько D₁ над K: CL=7−7/2=7/2, то есть L — середина CC₁.
- а) Доказываем, что параллелограмм — ромб
Прямоугольные треугольники KAB и KA₁D₁ равны по двум катетам: AK=A₁K=7/2, AB=A₁D₁=4. Поэтому BK=KD₁=√(16+49/4)=√113/2. Соседние стороны параллелограмма BKD₁L равны, значит, это ромб, что и требовалось доказать.
- б) Находим диагонали ромба
Диагональ BD₁ — диагональ параллелепипеда: BD₁=√(4²+4²+7²)=√81=9. Отрезки AK и CL равны и параллельны и перпендикулярны AC, поэтому AKLC — прямоугольник и KL=AC=4√2.
- б) Вычисляем площадь
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей: S=½·BD₁·KL=½·9·4√2=18√2.
- Записываем ответ пункта б
Площадь сечения равна 18√2. Типичная ошибка — считать сечение прямоугольником и перемножить соседние стороны (получится 113/4): угол ромба BKD₁L не прямой.
Ответ: 18√2
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: построено сечение BKD₁L (L — середина CC₁, по параллельности следов в параллельных гранях), доказано, что это параллелограмм с равными соседними сторонами BK=KD₁; найдены диагонали BD₁=9 и KL=4√2, площадь как половина их произведения, получен ответ 18√2.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ 18√2 в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (BKD₁L — параллелограмм и BK=KD₁), а при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, неверно найдена диагональ BD₁ или KL).
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (BKD₁L — параллелограмм и BK=KD₁), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ ответ 18√2 обоснованно получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.