Условие
Основание прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ — ромб ABCD с диагоналями AC=8 и BD=6. Боковое ребро AA₁ равно 3. а) Докажите, что прямая BD перпендикулярна плоскости AA₁C₁. б) Найдите угол между плоскостями A₁BD и C₁BD.
Подсказка
Где пересекаются плоскости A₁BD и C₁BD? Какие отрезки, проведённые к этой прямой, лежат в плоскости AA₁C₁C?
Угол между плоскостями не может быть тупым.
Показать ответ
arccos(7/25)
Пошаговое решение
- а) Признак перпендикулярности прямой и плоскости
Диагонали ромба перпендикулярны: BD ⊥ AC. Призма прямая, поэтому AA₁ ⊥ (ABCD) и, значит, AA₁ ⊥ BD. Прямые AC и AA₁ пересекаются и лежат в плоскости AA₁C₁C, следовательно, BD ⊥ (AA₁C₁), что и требовалось доказать.
- б) Строим линейный угол
Пусть O — точка пересечения диагоналей ромба. Отрезки OA₁ и OC₁ лежат в плоскости AA₁C₁C, поэтому по пункту а OA₁ ⊥ BD и OC₁ ⊥ BD. Плоскости A₁BD и C₁BD пересекаются по прямой BD, значит, ∠A₁OC₁ — линейный угол двугранного угла между ними.
- Находим стороны треугольника A₁OC₁
AO=OC=8:2=4 (диагонали ромба делятся пополам), AA₁=CC₁=3. Из прямоугольных треугольников AOA₁ и COC₁: OA₁=OC₁=√(4²+3²)=5. Кроме того, A₁C₁=AC=8.
- Применяем теорему косинусов
cos∠A₁OC₁=(5²+5²−8²)/(2·5·5)=(50−64)/50=−7/25. Угол A₁OC₁ тупой, а угол между плоскостями не больше 90°, поэтому он равен 180°−∠A₁OC₁, и его косинус равен 7/25.
- Записываем ответ пункта б
Угол между плоскостями A₁BD и C₁BD равен arccos(7/25). Типичная ошибка — оставить тупой угол arccos(−7/25) или найти угол A₁OA между одной из плоскостей и основанием (его тангенс равен 3/4).
Ответ: arccos(7/25)
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: доказано BD ⊥ (AA₁C₁) (BD ⊥ AC и BD ⊥ AA₁), откуда ∠A₁OC₁ — линейный угол; найдены OA₁=OC₁=5, cos∠A₁OC₁=−7/25 и выбран острый угол, получен ответ arccos(7/25).
- 2
- Обоснованно получен верный ответ arccos(7/25) в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (BD ⊥ AC, BD ⊥ AA₁ и ссылка на признак), а при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, ошибка в OA₁ или в теореме косинусов).
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (BD ⊥ AC, BD ⊥ AA₁ и ссылка на признак), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ ответ arccos(7/25) обоснованно получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.