Условие
Основание прямой призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ — равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD=10, BC=4 и боковыми сторонами AB=CD=5. Боковое ребро призмы равно 6. Через прямую AD и точку B₁ проведена плоскость. а) Докажите, что сечение призмы этой плоскостью — равнобедренная трапеция. б) Найдите отношение объёма меньшей из частей, на которые эта плоскость делит призму, к объёму большей.
Подсказка
Какое ребро верхнего основания параллельно AD и проходит через B₁?
Часть призмы под сечением разбейте плоскостями, проходящими через BB₁ и CC₁ перпендикулярно AD.
Показать ответ
3:4
Пошаговое решение
- а) Строим сечение
B₁C₁ ∥ BC как противоположные стороны боковой грани-прямоугольника, а BC ∥ AD, поэтому B₁C₁ ∥ AD. Секущая плоскость содержит прямую AD и точку B₁, значит, содержит и прямую, проходящую через B₁ параллельно AD, то есть B₁C₁. Сечение — четырёхугольник AB₁C₁D.
- а) Доказываем, что это равнобедренная трапеция
В AB₁C₁D стороны B₁C₁ и AD параллельны и не равны (4≠10), поэтому это трапеция. Призма прямая, значит, треугольники ABB₁ и DCC₁ прямоугольные с катетами AB=DC=5 и BB₁=CC₁=6; они равны, откуда AB₁=DC₁=√(25+36)=√61. Трапеция AB₁C₁D равнобедренная, что и требовалось доказать.
- б) Разбиваем часть под сечением на простые тела
Опустим высоты трапеции BH и CG на AD: AH=GD=(10−4):2=3, BH=√(5²−3²)=4. Плоскости BHB₁ и CGC₁ перпендикулярны AD и делят часть призмы, содержащую ребро BC, на прямую треугольную призму с основанием BHB₁ (катеты BH=4, BB₁=6) и боковым ребром HG=BC=4 и две пирамиды B₁ABH и C₁DCG с высотами BB₁=CC₁=6.
- б) Считаем объёмы
V(треугольной призмы)=½·4·6·4=48; V(B₁ABH)=⅓·(½·3·4)·6=12, так же V(C₁DCG)=12. Объём части с ребром BC: 48+12+12=72. Объём всей призмы: S(ABCD)·AA₁=((10+4):2·4)·6=28·6=168, объём второй части 168−72=96.
- Находим отношение
72<96, поэтому отношение объёма меньшей части к объёму большей равно 72:96=3:4. Типичная ошибка — считать, что такая плоскость делит призму пополам: это верно для параллелограмма в основании, а у трапеции «верхняя» часть с ребром A₁D₁ больше по объёму.
Ответ: 3:4
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: доказано, что C₁ лежит в секущей плоскости (B₁C₁ ∥ AD), B₁C₁≠AD и AB₁=DC₁=√61; часть с ребром BC разбита на треугольную призму (48) и две пирамиды (по 12), объём призмы 168, отношение 72:96, получен ответ 3:4.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ 3:4 в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (сечение AB₁C₁D — трапеция с равными боковыми сторонами), а при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, неверно найдена высота трапеции BH=4 или объём пирамиды без множителя ⅓).
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (сечение AB₁C₁D — трапеция с равными боковыми сторонами), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ ответ 3:4 обоснованно получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.