Условие
В пирамиде SABCD основание ABCD — прямоугольник со сторонами AB = 5 и AD = 4. Боковое ребро SA перпендикулярно плоскости основания и равно 3. а) Докажите, что плоскости SCD и SAD перпендикулярны. б) Найдите расстояние от точки B до плоскости SCD.
Подсказка
Какое ребро основания параллельно плоскости SCD и проходит через B?
Перпендикуляр из A к плоскости SCD лежит в плоскости, перпендикулярной SCD (пункт а).
Показать ответ
12/5
Пошаговое решение
- а) CD перпендикулярна плоскости SAD
CD ⊥ AD, так как ABCD — прямоугольник. SA перпендикулярна плоскости основания, поэтому SA ⊥ CD. Прямые AD и SA пересекаются и лежат в плоскости SAD, значит, CD ⊥ (SAD).
- а) Признак перпендикулярности плоскостей
Плоскость SCD проходит через прямую CD, перпендикулярную плоскости SAD, поэтому плоскости SCD и SAD перпендикулярны.
- б) Переходим от точки B к точке A
AB ∥ CD, а CD лежит в плоскости SCD, значит, AB ∥ (SCD), и все точки прямой AB удалены от этой плоскости одинаково. Поэтому расстояние от B до (SCD) равно расстоянию от A до (SCD).
- Находим расстояние от A
В плоскости SAD проведём AH ⊥ SD. Так как CD ⊥ (SAD), то AH ⊥ CD. AH перпендикулярна двум пересекающимся прямым SD и CD плоскости SCD, значит, AH — перпендикуляр к этой плоскости. В прямоугольном треугольнике SAD: SD = √(3² + 4²) = 5, AH = SA·AD/SD = 3·4/5 = 12/5.
- Записываем ответ
Расстояние от B до плоскости SCD равно 12/5. Типичная ошибка — считать расстоянием отрезок BC или высоту треугольника SBC: перпендикуляр из B к плоскости SCD не лежит в грани SBC. Данное AB = 5 на ответ не влияет — это следствие параллельности AB плоскости SCD.
Ответ: 12/5
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: доказано, что плоскости SCD и SAD перпендикулярны (CD ⊥ (SAD)), и обоснованно найдено расстояние 12/5 = AH через AB ∥ (SCD).
- 2
- Обоснованно получен верный ответ в пункте б (расстояние 12/5 = AH через AB ∥ (SCD)), ИЛИ имеется верное доказательство пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, SD или AH вычислены с арифметической ошибкой).
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (плоскости SCD и SAD перпендикулярны (CD ⊥ (SAD))), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а без его доказательства (перпендикуляр AH к SD объявлен перпендикуляром к плоскости SCD без доказательства CD ⊥ (SAD)).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.