Условие
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания равна 4, а боковое ребро равно 2√6. а) Докажите, что прямая BF перпендикулярна плоскости SAD. б) Найдите угол между прямой SB и плоскостью SAD.
Подсказка
Какая диагональ шестиугольника перпендикулярна AD? Вспомните симметрию шестиугольника.
Чтобы найти угол прямой с плоскостью, нужен перпендикуляр из точки B на эту плоскость — его даёт пункт а.
Показать ответ
45°
Пошаговое решение
- а) BF перпендикулярна AD
Прямая AD — ось симметрии правильного шестиугольника, проходящая через вершины A и D; при этой симметрии B переходит в F. Поэтому отрезок BF перпендикулярен оси AD (и делится ею пополам в точке K). Иначе: треугольник ABF равнобедренный (AB = AF), а AK — биссектриса угла BAF, значит, и высота.
- а) BF перпендикулярна высоте пирамиды
Высота SO правильной пирамиды перпендикулярна плоскости основания, поэтому SO ⊥ BF. Прямые AD и SO пересекаются в центре O и лежат в плоскости SAD. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости BF ⊥ (SAD).
- б) Находим проекцию прямой SB на плоскость SAD
По пункту а BK ⊥ (SAD), K лежит в этой плоскости, поэтому K — проекция точки B, SK — проекция наклонной SB, а искомый угол — угол BSK; треугольник BSK прямоугольный с прямым углом K.
- Вычисляем BK и синус угла
В треугольнике ABF угол A равен 120°, AB = AF = 4, поэтому BF² = 16 + 16 − 2·4·4·cos 120° = 48, BF = 4√3, BK = BF/2 = 2√3. sin∠BSK = BK/SB = 2√3/(2√6) = 1/√2 = √2/2, угол BSK = 45°.
- Записываем ответ
Угол между прямой SB и плоскостью SAD равен 45°. Типичная ошибка — считать проекцией точки B на плоскость SAD точку A (или O) и находить угол BSA; на самом деле BA и BO не перпендикулярны плоскости SAD.
Ответ: 45°
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: доказано, что BF ⊥ (SAD) (BF ⊥ AD и BF ⊥ SO), и обоснованно найдено угол BSK = 45°, где K — точка пересечения BF и AD.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ в пункте б (угол BSK = 45°, где K — точка пересечения BF и AD), ИЛИ имеется верное доказательство пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, BF посчитана как 4√2 вместо 4√3).
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (BF ⊥ (SAD) (BF ⊥ AD и BF ⊥ SO)), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а без его доказательства (использовано, что K — проекция B на плоскость SAD, без доказательства BF ⊥ (SAD)).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.