Условие
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ сторона основания равна 8, а боковое ребро равно 3. а) Докажите, что плоскости A₁BF и AA₁D₁ перпендикулярны. б) Найдите расстояние от точки D до плоскости A₁BF.
Подсказка
Где пересекаются прямые BF и AD? Под каким углом?
Из точки D опустите перпендикуляр на линию пересечения двух перпендикулярных плоскостей.
Показать ответ
36/5
Пошаговое решение
- а) Прямая BF перпендикулярна плоскости AA₁D₁
Правильный шестиугольник симметричен относительно прямой AD, точки B и F симметричны, поэтому BF ⊥ AD; пусть K — точка пересечения BF и AD. Призма прямая, значит, AA₁ ⊥ BF. Прямые AD и AA₁ пересекаются и лежат в плоскости AA₁D₁D, поэтому BF ⊥ (AA₁D₁).
- а) Признак перпендикулярности плоскостей
Плоскость A₁BF проходит через прямую BF, перпендикулярную плоскости AA₁D₁, следовательно, плоскости A₁BF и AA₁D₁ перпендикулярны, что и требовалось доказать.
- б) Сводим к расстоянию до прямой
Перпендикулярные плоскости A₁BF и AA₁D₁D пересекаются по прямой A₁K. Если в плоскости AA₁D₁D опустить из D перпендикуляр DH на A₁K, то по свойству перпендикулярных плоскостей DH ⊥ (A₁BF). Значит, искомое расстояние равно DH.
- б) Находим нужные отрезки
В треугольнике ABF угол A равен 120°, AB=AF=8, AK — высота и биссектриса, ∠BAK=60°, AK=AB·cos60°=4. AD=16 (большая диагональ правильного шестиугольника равна двум сторонам), KD=16−4=12. Из прямоугольного треугольника AA₁K: A₁K=√(3²+4²)=5, sin∠AKA₁=3/5.
- б) Вычисляем DH
Угол DKH (между лучом KD и прямой KA₁) смежный с углом AKA₁, его синус тоже 3/5. В прямоугольном треугольнике DHK: DH=KD·sin∠DKH=12·(3/5)=36/5.
- Записываем ответ пункта б
Расстояние от D до плоскости A₁BF равно 36/5. Проверка: расстояние от A до этой плоскости равно AK·AA₁:A₁K=12/5, а KD:KA=3, поэтому от D втрое дальше. Типичная ошибка — взять AK равным половине BF (4√3) или принять за расстояние отрезок DK.
Ответ: 36/5
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: доказано BF ⊥ AD (симметрия шестиугольника) и BF ⊥ AA₁, откуда BF ⊥ (AA₁D₁) и плоскости перпендикулярны; расстояние сведено к перпендикуляру DH на прямую A₁K, найдены AK=4, KD=12, A₁K=5, получен ответ 36/5.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ 36/5 в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (BF ⊥ (AA₁D₁) и признак перпендикулярности плоскостей), а при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, неверно найдено AK или KD).
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (BF ⊥ (AA₁D₁) и признак перпендикулярности плоскостей), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ ответ 36/5 обоснованно получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.