Условие
В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ сторона основания равна 4, а боковое ребро равно 8. а) Докажите, что прямые A₁B и DE₁ параллельны. б) Найдите угол между прямыми AB₁ и DE₁.
Подсказка
Покажите, что в правильном шестиугольнике ABDE — прямоугольник.
Замените прямую DE₁ параллельной ей прямой, лежащей в грани ABB₁A₁.
Показать ответ
arccos(3/5)
Пошаговое решение
- а) ABDE — прямоугольник
Каждый угол правильного шестиугольника равен 120°. Треугольник AFE равнобедренный (AF=FE) с углом 120° при вершине F, поэтому ∠FAE=30° и ∠BAE=120°−30°=90°. Точно так же ∠ABD=∠BDE=∠DEA=90°, значит, ABDE — прямоугольник, AE ∥ BD и AE=BD.
- а) Параллелограмм A₁BDE₁
Верхнее основание — копия нижнего, сдвинутая вдоль боковых рёбер, поэтому A₁E₁ ∥ AE и A₁E₁=AE. Тогда A₁E₁ ∥ BD и A₁E₁=BD, четырёхугольник A₁E₁DB — параллелограмм, и его противоположные стороны A₁B и E₁D параллельны, что и требовалось доказать.
- б) Переходим к углу между диагоналями грани
По пункту а DE₁ ∥ A₁B, поэтому угол между AB₁ и DE₁ равен углу между AB₁ и A₁B — диагоналями прямоугольника ABB₁A₁ со сторонами AB=4 и AA₁=8. Пусть O — точка пересечения диагоналей.
- б) Находим угол AOB
AB₁=A₁B=√(4²+8²)=√80=4√5, OA=OB=2√5. По теореме косинусов в треугольнике AOB: cos∠AOB=(20+20−16)/(2·2√5·2√5)=24/40=3/5. Угол AOB острый, поэтому именно он — угол между прямыми.
- Записываем ответ пункта б
Угол между прямыми AB₁ и DE₁ равен arccos(3/5). Типичные ошибки — взять тупой угол AOA₁ между диагоналями (его косинус −3/5) или решить, что AB₁ ∥ DE₁, раз AB ∥ DE.
Ответ: arccos(3/5)
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: доказано, что ABDE — прямоугольник, A₁E₁DB — параллелограмм и A₁B ∥ DE₁; угол сведён к углу между диагоналями грани ABB₁A₁, найден cos∠AOB=3/5 и выбран острый угол, получен ответ arccos(3/5).
- 2
- Обоснованно получен верный ответ arccos(3/5) в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (через прямоугольник ABDE и параллелограмм A₁E₁DB), а при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, ошибка в длине диагонали AB₁=4√5 или в теореме косинусов).
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (через прямоугольник ABDE и параллелограмм A₁E₁DB), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ ответ arccos(3/5) обоснованно получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.