Условие
В пирамиде SABC основание ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом B, AB = 3, BC = 12. Ребро SA перпендикулярно плоскости основания и равно 4. а) Докажите, что треугольник SBC прямоугольный. б) Найдите радиус шара, описанного около пирамиды SABC.
Подсказка
Какие углы с вершинами A и B опираются на отрезок SC?
Середина гипотенузы равноудалена от всех вершин прямоугольного треугольника.
Показать ответ
13/2
Пошаговое решение
- а) Теорема о трёх перпендикулярах
SA ⊥ (ABC), поэтому AB — проекция наклонной SB на плоскость основания. Прямая BC лежит в плоскости основания и перпендикулярна проекции AB (угол B прямой). По теореме о трёх перпендикулярах BC ⊥ SB, то есть угол SBC прямой, и треугольник SBC прямоугольный.
- б) Две точки видят SC под прямым углом
Угол SAC прямой, так как SA перпендикулярна любой прямой основания. Угол SBC прямой по пункту а. Середина Q отрезка SC — центр окружностей, описанных около прямоугольных треугольников SAC и SBC (медиана к гипотенузе равна её половине): QA = QB = QS = QC = SC/2.
- Почему это и есть описанный шар
Точка Q равноудалена от всех четырёх вершин, значит, шар с центром Q и радиусом SC/2 проходит через S, A, B, C. Через четыре точки, не лежащие в одной плоскости, проходит единственная сфера, поэтому это и есть описанный шар, R = SC/2.
- Вычисляем SC
Из треугольника ABC: AC² = AB² + BC² = 9 + 144 = 153. Из прямоугольного треугольника SAC: SC² = SA² + AC² = 16 + 153 = 169, SC = 13. R = 13/2.
- Записываем ответ
Радиус описанного шара равен 13/2. Типичная ошибка — искать центр шара над центром описанной окружности основания, но забыть, что он должен быть равноудалён и от S; или взять за диаметр SB = 5 — отрезок, который виден под прямым углом только из одной точки.
Ответ: 13/2
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: доказано, что угол SBC прямой (теорема о трёх перпендикулярах), и обоснованно найдено R = SC/2 = 13/2.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ в пункте б (R = SC/2 = 13/2), ИЛИ имеется верное доказательство пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, ошибка при вычислении AC² = 153 или SC = 13).
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (угол SBC прямой (теорема о трёх перпендикулярах)), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а без его доказательства (использован прямой угол SBC без доказательства, чтобы объявить SC диаметром).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.