Условие
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ основание ABCD — квадрат со стороной 6, а боковое ребро равно 9. Плоскость α проходит через прямую BD перпендикулярно прямой A₁C. а) Докажите, что прямые A₁C и BD перпендикулярны. б) Найдите, в каком отношении плоскость α делит ребро CC₁, считая от точки C.
Подсказка
Какая прямая служит проекцией A₁C на плоскость основания?
Плоскость α пересекает диагональное сечение AA₁C₁C по прямой, проходящей через центр основания перпендикулярно A₁C.
Показать ответ
4:5
Пошаговое решение
- а) Теорема о трёх перпендикулярах
AA₁ ⊥ (ABCD), поэтому AC — проекция наклонной A₁C на плоскость основания. Диагонали квадрата перпендикулярны: BD ⊥ AC. По теореме о трёх перпендикулярах BD ⊥ A₁C, что и требовалось доказать.
- б) Строим сечение плоскостью α
Пусть O — центр квадрата. Проведём в плоскости AA₁C₁C через O прямую OK ⊥ A₁C, K — точка на прямой CC₁. Плоскость BDK содержит пересекающиеся прямые BD и OK, перпендикулярные A₁C (BD — по пункту а), поэтому она перпендикулярна A₁C. Через BD проходит только одна такая плоскость, значит, это α, и K — точка пересечения α с прямой CC₁.
- б) Находим угол COK
AA₁C₁C — прямоугольник: AC=6√2, AA₁=9, tg∠AA₁C=AC:AA₁=6√2/9=2√2/3. Пусть T — точка пересечения OK и A₁C. В прямоугольном треугольнике OTC: ∠TOC=90°−∠TCO=90°−∠ACA₁=∠AA₁C.
- б) Находим CK
В прямоугольном треугольнике OCK (угол C прямой, CC₁ ⊥ AC): OC=AC:2=3√2, CK=OC·tg∠COK=3√2·(2√2/3)=4. Тогда KC₁=9−4=5, и точка K действительно лежит на ребре CC₁.
- Записываем ответ пункта б
Плоскость α делит ребро CC₁ в отношении CK:KC₁=4:5, считая от C. Типичная ошибка — перепутать катеты в тангенсе и получить CK=OC·AA₁:AC=9/2 или провести OK перпендикулярно AC₁, а не A₁C.
Ответ: 4:5
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: доказано BD ⊥ A₁C по теореме о трёх перпендикулярах (AC — проекция A₁C, BD ⊥ AC); обосновано, что α пересекает CC₁ в точке K с OK ⊥ A₁C, найдено CK=OC·tg∠AA₁C=4 и KC₁=5, получен ответ 4:5.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ 4:5 в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (теорема о трёх перпендикулярах для BD и A₁C), а при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, неверно найден tg∠AA₁C или OC=3√2).
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (теорема о трёх перпендикулярах для BD и A₁C), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ ответ 4:5 обоснованно получен с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.