Условие
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 4√3. а) Докажите, что прямые SA и BC перпендикулярны. б) Найдите расстояние между прямыми SA и BC.
Подсказка
Возьмите середину ребра BC и рассмотрите плоскость, проходящую через неё и ребро SA.
Расстояние между скрещивающимися прямыми — это высота треугольника, лежащего в плоскости, перпендикулярной одной из прямых; её удобно найти через площадь.
Показать ответ
9/2
Пошаговое решение
- а) Строим плоскость, перпендикулярную BC
Пусть M — середина BC. В правильном треугольнике ABC медиана AM является высотой: AM ⊥ BC. Треугольник SBC равнобедренный (SB = SC как боковые рёбра правильной пирамиды), поэтому его медиана SM тоже высота: SM ⊥ BC. Прямая BC перпендикулярна двум пересекающимся прямым AM и SM плоскости SAM, значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости BC ⊥ (SAM). Тогда BC перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в том числе SA. Что и требовалось доказать.
- б) Указываем общий перпендикуляр
В плоскости SAM опустим перпендикуляр MH на прямую SA. MH ⊥ SA по построению, и MH ⊥ BC, так как MH лежит в плоскости SAM, перпендикулярной BC (пункт а). Значит, MH — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых SA и BC, и искомое расстояние равно MH.
- Находим элементы треугольника SAM
AM = 6·√3/2 = 3√3. Высота пирамиды SO падает в центр O основания, AO = (2/3)·AM = 2√3. Из прямоугольного треугольника SOA: SO² = SA² − AO² = 48 − 12 = 36, SO = 6. Площадь треугольника SAM равна (1/2)·AM·SO = (1/2)·3√3·6 = 9√3.
- Вычисляем MH через площадь
Та же площадь равна (1/2)·SA·MH, откуда MH = 2·9√3 : (4√3) = 18√3/(4√3) = 9/2. Основание H лежит на отрезке SA: SM² = SB² − BM² = 48 − 9 = 39, и SA² + SM² = 87 > AM² = 27, поэтому угол ASM острый (угол SAM тоже острый, так как точка O лежит между A и M).
- Записываем ответ и проверяем
Расстояние между прямыми SA и BC равно 9/2. Типичная ошибка — принять за расстояние высоту SO = 6 или апофему SM = √39: эти отрезки перпендикулярны BC, но не перпендикулярны SA.
Ответ: 9/2
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: доказано, что SA ⊥ BC (через BC ⊥ (SAM), где M — середина BC), и обоснованно найдено расстояние MH = 9/2 как высота треугольника SAM.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ в пункте б (расстояние MH = 9/2 как высота треугольника SAM), ИЛИ имеется верное доказательство пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, неверно найдена высота пирамиды SO или площадь треугольника SAM).
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (SA ⊥ BC (через BC ⊥ (SAM), где M — середина BC)), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а без его доказательства (сразу взят перпендикуляр из M на SA без обоснования того, что он перпендикулярен и BC).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.