Условие
В правильном тетраэдре ABCD ребро равно 6. Точки M и N — середины рёбер CD и BD соответственно. а) Докажите, что прямая BC параллельна плоскости AMN. б) Найдите угол между прямыми AM и BC.
Подсказка
Найдите в плоскости AMN прямую, параллельную BC.
Длины AM и AN — высоты равносторонних треугольников; осталось применить теорему косинусов.
Показать ответ
arccos(√3/6)
Пошаговое решение
- а) Средняя линия
В треугольнике BCD отрезок MN соединяет середины сторон CD и BD, значит, MN — средняя линия: MN ∥ BC и MN = BC/2 = 3.
- а) Признак параллельности прямой и плоскости
Прямая BC не лежит в плоскости AMN (иначе в ней лежала бы и точка D на прямой BN, и весь тетраэдр был бы плоским), а MN — прямая этой плоскости и MN ∥ BC. По признаку параллельности прямой и плоскости BC ∥ (AMN).
- б) Сводим угол к плоскому
Угол между скрещивающимися прямыми AM и BC равен углу между пересекающимися прямыми AM и MN, параллельной BC, то есть углу AMN (или смежному с ним, если AMN тупой).
- Решаем треугольник AMN
AM и AN — медианы равносторонних треугольников ACD и ABD со стороной 6: AM = AN = 6·√3/2 = 3√3. Треугольник AMN равнобедренный, MN = 3. По теореме косинусов cos∠AMN = (AM² + MN² − AN²)/(2·AM·MN) = 9/(2·3√3·3) = 1/(2√3) = √3/6 > 0, угол острый.
- Записываем ответ
Угол между прямыми AM и BC равен arccos(√3/6). Типичная ошибка — искать угол между AM и BC в треугольнике AMC или BMC: прямые AM и BC скрещиваются, и угол между ними не является углом ни одного из этих треугольников.
Ответ: arccos(√3/6)
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: доказано, что BC ∥ (AMN) через среднюю линию MN ∥ BC, и обоснованно найдено угол AMN, равный arccos(√3/6).
- 2
- Обоснованно получен верный ответ в пункте б (угол AMN, равный arccos(√3/6)), ИЛИ имеется верное доказательство пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки (например, неверно найдена длина медианы грани AM или cos∠AMN).
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (BC ∥ (AMN) через среднюю линию MN ∥ BC), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а без его доказательства (угол между AM и BC сразу заменён углом AMN без ссылки на MN ∥ BC).
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.