Условие
В наклонной треугольной призме ABCA₁B₁C₁ основание ABC — правильный треугольник со стороной 6, боковое ребро AA₁ равно 8 и образует с рёбрами AB и AC углы по 60°. а) Докажите, что грань BB₁C₁C — прямоугольник. б) Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Подсказка
Сравните треугольники A₁AB и A₁AC. Что следует из их равенства для отрезков A₁B и A₁C?
Боковые грани — параллелограммы; площадь параллелограмма равна произведению сторон на синус угла между ними.
Показать ответ
48 + 48√3
Пошаговое решение
- а) Равные треугольники при ребре AA₁
Треугольники A₁AB и A₁AC равны по двум сторонам и углу между ними (AB = AC, AA₁ — общая сторона, ∠A₁AB = ∠A₁AC = 60°). Значит, A₁B = A₁C. Пусть M — середина BC; медианы равнобедренных треугольников A₁BC и ABC являются высотами: A₁M ⊥ BC и AM ⊥ BC.
- а) Ребро перпендикулярно BC
Прямые A₁M и AM пересекаются, поэтому BC ⊥ (AA₁M) и, в частности, BC ⊥ AA₁. Так как BB₁ ∥ AA₁, получаем BB₁ ⊥ BC. Грань BB₁C₁C — параллелограмм с прямым углом B, то есть прямоугольник.
- б) Грани, содержащие AA₁
Грани AA₁B₁B и AA₁C₁C — параллелограммы со сторонами 6 и 8 и углом 60° между ними: площадь каждой S = AB·AA₁·sin60° = 6·8·√3/2 = 24√3.
- б) Прямоугольная грань и сумма
По пункту а S(BB₁C₁C) = BC·BB₁ = 6·8 = 48. Площадь боковой поверхности: 24√3 + 24√3 + 48 = 48 + 48√3.
- Записываем ответ и проверяем
Ответ: 48 + 48√3. Проверка через вектор: AA₁·BC = AA₁·AC − AA₁·AB = 6·8·cos60° − 6·8·cos60° = 0 — подтверждает перпендикулярность. Типичная ошибка — считать все три боковые грани прямоугольниками (получится 144) или все три — параллелограммами с углом 60° (получится 72√3).
Ответ: 48 + 48√3
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах: в пункте а доказано, что BB₁C₁C — прямоугольник (равенство треугольников A₁AB и A₁AC, A₁M ⊥ BC и AM ⊥ BC, значит, BC ⊥ AA₁ ∥ BB₁); в пункте б найдены площади граней 24√3, 24√3 и 48 и получен ответ 48 + 48√3.
- 2
- Обоснованно получен верный ответ 48 + 48√3 в пункте б, ИЛИ имеется верное доказательство пункта а (BC ⊥ AA₁, грань BB₁C₁C — прямоугольник) и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.
- 1
- Имеется верное доказательство пункта а (BC ⊥ AA₁, грань BB₁C₁C — прямоугольник), ИЛИ при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б с использованием утверждения пункта а без его доказательства.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.