Условие
В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ ребро равно 6. Точки M и N — середины BC и CD соответственно. Плоскость проходит через A₁, M и N. а) Докажите, что сечение — пятиугольник A₁PMNQ, где P лежит на BB₁, Q лежит на DD₁, и BP=DQ=2. б) Найдите площадь сечения.
Подсказка
Рассмотрите плоскость в координатах куба и проверьте все шесть граней.
Проекция сечения — квадрат с отрезанным углом, а не треугольник AMN.
Показать ответ
а) A₁PMNQ, BP=DQ=2; б) 21√17/2.
Пошаговое решение
- Вводим координаты
Положим A=(0;0;0), B=(6;0;0), C=(6;6;0), D=(0;6;0), A₁=(0;0;6). Тогда M=(6;3;0), N=(3;6;0). Все точки куба удовлетворяют 0≤x,y,z≤6.
- Находим плоскость
Все три заданные точки удовлетворяют 2x+2y+3z=18. Они не лежат на одной прямой, поэтому это уравнение искомой плоскости.
- Проверяем пересечения с гранями
На нижней грани z=0 получаем x+y=9 — отрезок MN. На грани x=6 получаем 2y+3z=6 — отрезок MP, P=(6;0;2). На y=6 аналогично отрезок NQ, Q=(0;6;2). На y=0 сечение идёт от P до A₁, на x=0 — от Q до A₁. На z=6 равенство x+y=0 даёт только A₁.
- Завершаем доказательство пункта а
Все шесть граней рассмотрены; дополнительных вершин нет. Сечение выпуклого куба есть пятиугольник A₁PMNQ, причём BP=DQ=2.
- Вычисляем площадь проекции
Ортогональная проекция сечения на ABCD — пятиугольник ABMND. Его площадь равна площади квадрата без прямоугольного треугольника CMN: 36−3·3/2=63/2. Проекция однозначна, поскольку плоскость задаёт z=(18−2x−2y)/3.
- Находим угол плоскостей
Нормаль к сечению n=(2;2;3), к основанию k=(0;0;1). Косинус острого угла между плоскостями равен |n·k|/(|n|·|k|)=3/√17.
- Восстанавливаем площадь сечения
Площадь ортогональной проекции равна S·cos φ. Поэтому S=(63/2)/(3/√17)=21√17/2. Площадь больше площади проекции, как и должно быть.
Ответ: а) A₁PMNQ, BP=DQ=2; б) 21√17/2.
Критерии оценивания (3 балла)
- 3
- Полностью доказан пункт а и верно вычислена площадь сечения с обоснованием проекции и угла.
- 2
- Пункт а доказан; в верном методе пункта б допущена одна вычислительная ошибка.
- 1
- Полностью доказан пункт а либо полностью и обоснованно решён пункт б.
- 0
- Не выполнены условия начисления баллов по этой учебной рубрике.